D2_9连续函数性质.ppt

第九节 一、最值定理 推论. 定理2.16 ( 介值定理 ) 例1. 证明方程 (六)利用函数连续性求函数极限 习题 第十二次 内容小结 思考与练习 2. 设 备用题 例. 证明方程 例2. 设 一、最值定理 二、介值定理 闭区间上连续函数的性质 第二章 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 定理2.15.在闭区间上连续的函数 即: 设 则 使 值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 (证明略) 点 , 反例1： 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 反例2： 开区间 不连续 由定理 1 可知有 证: 设 上有界 . 二、介值定理 ( 零点定理 ). 至少有一点 且 使 ( 证明略 ) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 设 且 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 作辅助函数 则 且 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 推论: 使 至少有 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最 大值之间的任何值 . 一个根 . 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 说明: 内必有方程的根 ; 取 的中点 内必有方程的根 ; 可用此法求近似根. 二分法 在区间 内至少有 则 则 例10. 求 在 x = 2 处连续, 解: 因为 所以 为初等函数, 阅读 P87-90 P95 36, 38, 41. 在 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 4. 当 时, 使 必存在 上有界; 在 在 1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它 一刀剪为面积相等的两片. 提示: 建立坐标系如图. 则面积函数 因 故由介值定理可知: 证明至少存在 使 提示: 令 则 易证 一点 至少有一个不超过 4 的 证： 证明 令 且 根据零点定理 , 原命题得证 . 内至少存在一点 在开区间 显然 正根 . 内各有一个根 . 证: 设 又 据介值定理推论(零点定理), 存在 使 即 (P88倒8行) 在区间 上连续 , 且恒为正 , 在 对任意的 必存在一点 证: 使 令 , 则 使 故由零点定理知 , 存在 即 当 时, 取 或 , 则有 证明: