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例3.设f(x)在上为非负连续函数，且有
，试证：对任何一个小于1
的正数，必有一点使得
备用题证明至少有一个不超过4的
正根.
证：令
显然在闭区间[0,4]上连续，且
根据零点定理,在开区间(0,4)内至少存在一点
原命题得证.
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1二、介值定理一、最大值和最小值定理第十节闭区间上连续函数的性质第一章函数与极限
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3定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定能取到最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.
4定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.
5定义:此定理又称为根的存在性定理二、介值定理
6几何解释:
7几何解释:MBCAmab证由零点定理,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.
8例1202X证
9例201证02由零点定理,
10至少有一个不超过4的证：证明令且根据零点
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第十节 一、最值定理 推论. 定理3. ( 介值定理 ) 例1. 证明方程 例2. 设 *三. 一致连续性 例如, 内容小结 思考与练习 2. 设 备用题 一、最值定理 二、介值定理 *三、一致连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 闭区间上连续函数的性质 第一章 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 则 使 值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 (证明略) 点 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值
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* * 2-8 闭区间上连续函数的性质 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 2.间断点的分类与判别; 第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型. 间断点 复习 一、最大值和最小值定理 最大(小)值定义: 例如, 对于在区间I上有定义的函数 f(x) 如果有 使得对于任一 都有 (或 ), 则称 是函数 在区间I上的最大 值. x o y 在 上， 第九节 闭区间上连续函数的性质 (小) 定理1(最大值和最小值定理) 1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值. 从图形上看成立. 说明： 即 对于 有 注意 2.若区间
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第九章 实数的完备性 §2 闭区间上连续函数的性质
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§2 闭区间上连续函数的性质
授课方式：课堂讲授 教学时数：2学时
教学目的与要求：理解连续函数的基本性质的证明，了解用实数完备性定理证明问题的基本思路与技巧。
教学重点与难点：用实数完备性定理证明问题的基本思路与技巧。
教学过程：
在本节中,我们首先利用关于实数完备性的基本定理,来证明第四章§2中给出的三个闭
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高 等 数 学;绪论;参 考 书 目; 我们这门课程叫高等数学，它的内容包括一元
和多元微积分学，无穷级数论和作为理论基础的极限理论，以及作为一元微积分学的简单应用——常微分方程。由于构成它的主体是一元函数微积分学，所以有时又称为微积分。; 高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。; 因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻研
教材的内容，一方面要透
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内容小结 * 1.9 连续函数的运算、 闭区间上连续函数的性质 1.9.1 连续函数的运算 1.9.2 初等函数的连续性 1.9.3 闭区间上连续函数的性质 1.9 连续函数的运算、闭区间上连续函数的性质 1.9.1 连续函数的运算 证 可由连续定义及极限四则运算法则来证。 定理1.9.1(函数和、差、积、商的连续性)设函数 f (x)，g(x)在x0点连续，则函数 f (x)?g(x) ， f(x)?g(x)， f (x)/g(x) (g(x0) ? 0)均在x0点处连续。且有： 定理1.9.2 (复合函数的连续性
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定理.且使( 证明略 )至少有一点定理1. ( 介值定理 )且则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点使至少有1-6 闭区间上连续函数的性质第一页，共六页。
证:作辅助函数则且故由零点定理知, 至少有一点使即推论:在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .第二页，共六页。
定理2. 最大(小)值定理注意: 若函数在开区间上连续,以上结论不一定成立 .在闭区间上的连续函数即: 设则使或在闭区间内有间断点,在该区间上一定有,在该区间上一定有界.定理3. (有界性定理)闭区间上的连续函数且能取得它的最大值和最小值.第三页，共六页。
无最大值和最小值 例如、例定理4.
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二、零点定理与介值定理*注:如果x0使f(x0)=0?则x0称为函数f(x)的零点?定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a?b]上连续?且f(a)与f(b)异号?即f(a).f(b)0，那么在开区间(a?b)内至少存在一点x?使f(x)=0?二、零点定理与介值定理*例1证明方程x3-4x2+1=0在区间(0?1)内至少有一个根?证明设f(x)=x3-4x2+1?则f(x)在闭区间[0?1]上连续?并且f(0)=10?f(1)=-20?根据零点定理?在(0?1)内至少有一点x?使得f(x)=0?即x3-4x2+1=0?这说明方程x3-4x2+1=0在区间(0?1)内至少有一个根是x?定理3
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摘要：闭区间上连续函数的性质对研究函数有极为重要的意义，同时函数连续也是数学分析中许多定理的前提条件。本文将介绍连续函数的有界性、最值性、零点性、一致连续性、介值性等及其相关应用。
关键词：连续函数；闭区间；有界性；最值性；零点性；一致连续性；介值性
闭区间上连续函数的定义
从语言上来讲，函数连续即一个函数在图像上没有断点，函数的连续性可以分成在一点连续以及在区间连续两大类，其中在区间连续所表达的含义是该函数在区间内每一点都连续.下面介绍函数连续性的相关定义.
函数在一点的连续性
定义1[1]设函数在某 上有定义.若
，则称f在点连续.也就是说，函数在某点连续需要满足两个条
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1-11 闭区间上连续函数的性质 连续函数与连续区间 2.反函数与复合函数的连续性 1、最大值和最小值定理 2. 介值定理 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 例如, 定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 定理4 例如, 注意 2. 初等函数求极限的方法代入法. 例3 求 解 它的一个定义区间是 例4 解 例5 求 解 不能应用差的极限运算法则，须变形 ——先分子有理化，然后再求极限 课堂练习P69。 1.2 定义: 例如, 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值. 注意 1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
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§2.10有限闭区间上连续函数的性质2008／11／04一、一致连续性定理（康托定理）定理：01证明：02利用列紧性证明03例1.证明：例2.证明：（）··证明：定理：二、有界性定理例3.证明：三、最值定理定理：证明：四、零点定理定理：01证明：02重复上述步骤，得闭区间套：从而：由闭区间套定理：满足：例4.证明：例5.证明：证明：例6.
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§2.6 闭区间上连续函数的性质 第二章 Th2.5 Th2.4 (最值定理) (有界定理) 若条件不满足，则结论不一定成立. 非闭区间上的连续函数,定理的结论不一定成立; 闭区间上的不连续函数, 定理的结论不一定成立; 定理2.6 b a m M C 定理2.7 2.零值定理的应用 利用零值定理证明方程f(x)=0实根的存在性： (1)、构造函数f(x) (2)、构造闭区间[a,b] (3)、验证f(x)在闭区间[a,b]上满足零值定理条件 例 证明 例 证明 证明 证明 定理2.8 反函数连续性定理 第二章 复习 一、数列极限 2.数列极限存在定理： 1.极限四则运算法则
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函数与极限 一、最大值和最小值定理与有界性 二、零点定理与介值定理 三、小结 思考题 经 济 数 学 一、最大值最小值定理与有界性 二、零点定理与介值定理 三、小结 思考题 第八节 闭区间上连续 函数的性质 定义: 例如, 定理1(有界性和最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数有界且一定有最大值和最小值. 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. 定义: . ) ( , 0 ) ( 0 0 0 的零点 称为函数 则 使 如果 x f x x f x = 几何解释: 几何解释: M B C A m a b 证 由零点定