连续函数的运算闭区间上连续函数的性质.ppt

内容小结 * 1.9 连续函数的运算、 闭区间上连续函数的性质 1.9.1 连续函数的运算 1.9.2 初等函数的连续性 1.9.3 闭区间上连续函数的性质 1.9 连续函数的运算、闭区间上连续函数的性质 1.9.1 连续函数的运算 证 可由连续定义及极限四则运算法则来证。 定理1.9.1(函数和、差、积、商的连续性)设函数 f (x)，g(x)在x0点连续，则函数 f (x)?g(x) ， f(x)?g(x)， f (x)/g(x) (g(x0) ? 0)均在x0点处连续。且有： 定理1.9.2 (复合函数的连续性)设函数u＝?(x)在x＝x0点处连续，且?(x0) ＝u0 ，而函数y = f(u)在u=u0点处连续，则复合函数y＝f(?(x)) 在x＝x0 点处连续。且有 例1 由于函数 y = sin u 和 在(-?,+?)上连续，由定理知它们的复合函数 在(-?,+?)上也是连续的。 定理1.9.3 (反函数的存在与连续性) 若函数y＝f (x)在区间Ix上单调增加(或单调减少)且连续，则它的反函数x＝?(y)存在，且在相应区间Iy＝{y | y =f (x) , x?Ix}上也是单调增加(或单调减少)且连续的。 1.9.2 初等函数的连续性 定理1.9.4 基本初等函数在其定义域内都连续。 基本初等函数包括：幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数。 初等函数是指：由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算所构成的并可用一个式子表示的函数。 定理1.9.5 初等函数在其定义区间内连续。 注 (1) 定义区间: 包含在定义域内的区间。 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续，如 该函数在定义域内任一点处皆不连续，因为它在这些点的去心邻域内没有定义。 在0点的邻域内没有定义，故它在0处不连续。 (2) 初等函数求极限的方法代入法。 解 由幂指函数的连续性知 ＝8 ＝8 1.9.3 闭区间上连续函数的性质 1. 最大值和最小值定理 定理1.9.6 (最大最小值定理)闭区间上的连续函数在该区间上一定可以取到最大值与最小值。即： 注1 [a, b]改为 (a, b) 或 [a, b)、 (a, b], 结论不一定成立。 注2 连续的条件不能少。 定理1.9.7（有界性定理）闭区间上的连续函数一定在该区间上有界，即： 注 闭区间，连续这两个条件也是缺一不可，否则结论不一定成立。 2.介值定理 定义1.9.2 如果x0使 f ( x0 ) = 0 ，则称 x0 为函数 f (x) 的零点。 定理1.9.8(零点定理)设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，且 f(a)与 f(b)异号，那么在开区间(a,b)内至少有函数 f (x)的一个零点。 即 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。即： 定理1.9.9(介值定理) 设 f (x)?C[a,b]， f(a)=A, f (b)＝B， 则对于A与B之间的任意一个数C，???(a,b)，使得f(?)＝C。