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第九章 实数的完备性 §2 闭区间上连续函数的性质 PAGE  PAGE 5 §2 闭区间上连续函数的性质 授课方式：课堂讲授 教学时数：2学时 教学目的与要求：理解连续函数的基本性质的证明，了解用实数完备性定理证明问题的基本思路与技巧。 教学重点与难点：用实数完备性定理证明问题的基本思路与技巧。 教学过程： 在本节中,我们首先利用关于实数完备性的基本定理,来证明第四章§2中给出的三个闭区间上连续函数的基本性质.然后举例说明使用实数完备性定理证明一些命题的基本思路与证明的技巧. 一 连续函数的基本性质的证明 有界性定理(定理3.2.5的推论) 若函数在闭区间上连续,则在上有界. 证(应用致密性定理),如果在上无上界,则对任何正整数,存在,使得.依次取,则得到数列.由致密性定理,它含有收敛子数列,记.由及数列极限的保不等式性,.利用在点连续,推得 . 另一方面,由的选取方法又有 , 这与矛盾.所以在上有上界.类似地可证在上有下界.从而在上有界.▋ 最大、最小值定理(定理3.2.5) 若函数在闭区间上连续,则在上有最大值与最小值. 证(应用确界原理)由于已证得在上有界,故由确界原理,的值域有上确界,记为.我们希望能证明:存在,使得.如若不然,则对一切都有.令 . 显然函数在上连续,故在上有界.设是的一个上界,则 . 从而推得 . 但这与为的上确界相矛盾.所以必存在,使得,即在上有最大值.同理可证在上有最小值.▋ 介值性定理(定理3.2.6)设函数在闭区间上连续,且.若为介于与之间的任何实数,则存在,使得. 证(应用区间套定理)我们先将问题转化成求证零点存在性命题, 令 . 即若是上的连续函数,且.则存在,使得 . 将等分为两个子区间与.若,则即为所求:若,则当时,记,当时,记.于是有 ,且. 再从区间出发,重复上述过程,得到:或者在的中点处有,或者在闭区间上满足 ,且. 将上述过程无限地进行下去,可能出现两种情况: 在某一区间的中点处满足,则即为所求: 在任一区间的中点上均有,则得到闭区间列满足 且. 由区间套定理,存在.下面我们证明.用反证法.若,则不妨设.由连续函??的局部保号性,存在,使在其内有.而由定理9.1.1的推论可得,当充分大时有,因而有.但这与选取时应满足的矛盾.故必有.▋ 一致连续性定理(定理3.2.10) 若函数在闭区间上连续,则在上一致连续. 证 (应用致密性定理) 用反证法.若在上不一致连续,则存在某个,对任何的,都存在相应的两个点,尽管,但有 . 令为正整数),与它相应的两点记为,尽管,但有 . 当取遍所有正整数时,得数列与.由致密性定理,存在的收敛子列,设.同时由 , 又得. 最后,由,有 , 在上式中令,由的连续性及数列极限的保不等式性,得到 . 这与相矛盾,所以在上一致连续. ▋ 二 用实数完备性定理证明问题的基本思路与技巧 我们希望通过一些例题说明用实数完备性定理证明命题时的一些基本的思路和技巧. 例9.2.1 若函数在上无界,则必存在上某点,使得在该点的任意邻域内无界. 证 用反证法,若对任意的,存在,使得在中有界,则令 , 它成为的一个无限开覆盖.由有限覆盖定理,存在 为的有限开覆盖.由于在每个内有界,因此在上有界,这与题目的条件矛盾. ▋ 注 我们也可用区间套定理证明这个结论.因为应用区间套定理“套”出的那个点,就是题目中要找的点. 例9.2.2 设函数对任何,存在,使得在内递增,试证在整个内也递增. 证 由增函数的定义,即证对任意,有. 对任意的,由题目条件知,,使得在内递增,因此 是闭区间的一个无限开覆盖.由有限覆盖定理,存在 是的一个有限覆盖. 如果,则和能覆盖,且设. 若,则因,在中递增,故:若,则,又因,故存在,使得 如果,则能覆盖,且设. 若,同上可得:若,不妨设, 又因,,故存在,使得 所以在内也递增. ▋ 例9.2.3 设为定义在区间上的函数,对内任何柯西列,也是柯西列.试证在上一致连续. 证 用反证法.若在上不一致连续,于是存在,但 . 由致密性定理,对有界数列: 因为,所以.因而,数列 也收敛于,因而是柯西列:但因为,也就是说 不是柯西列,这与题设矛盾.▋ 说明:在描述实数的连续性的几个等价性的命题中,有限覆盖定理的形式很特殊,它的着眼点是闭区间的整体性.有限覆盖