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连续函数及连续函数的性质 张柏忱 数学与统计学院 09级汉本 （三） 班 09041100434 摘要：数学分析的发展史告示我们，无论在理论上或在应用中都应从连续函数开始。这是因为，一方面在生产实际中所遇到的函数多是连续函数；另一方面，我们常常直接或间接地借助于连续函数讨论一些不连续的函数。于是连续函数就成为数学分析研究的主要对象。 关键词：连续 该变量 间断点 有界性 最值性 介值性、 连续函数概念 已知函数f(x)在a存在极限b，即可能属于函数f(x)的定义域；f(a)也 一定等于b。但是，当f(a)=b时,有着特殊意义。 定义 设函数f(x)在U(a)有定义。若函数f(x)在a存在极限，且极限就是f(a)，即 （1） 则称函数f(x)在a连续，a是函数f(x)的连续点。 函数f(x)在a连续，不仅a属于函数f(x)的定义域，且有（1）式极限。因此函数f(x)在a连续比函数f(x)在a存在极限有更高的要求。 用极限的“ 定义”，函数f(x)在a连续（即（1）式极限） 将（1）式极限改写为、 （2） 设称为自变数的改变量。设 称为函数y在的改变量.如图3.1.于是，由（2）式 函数 有时只需要讨论函数左侧或右侧的连续性，有下面左右连续概念： 定义 设函数为左（右）端点的区间有定义。若 则称函数右连续（左连续）。 根据2.3定理3，有 既右连续又左连续或 . 定义 若函数在区间I的每一点都连续（若区间I左（右）端点属于I函数在左（右）端点右连续（左连续）），则称在区间I连续。 间断点及其分类 定义 若函数不满足连续定义的条件，则称函数的间断点（或不连续点）。 定 义 设函数有定义。 1）若，但无意义，则称是函数可去间断点； 2）若皆存在，且，则称的第一类间断点； 3）若之中有一个不存在或发散到，则称是函数的第二类间断点。 点的可去间断点的特征是 无意义。 因此，当可去间断点仅有有限个时，人们可改变函数的极限值或补充函数的值，使，则 这样新函数就连续了。而函数仅在个别的可去不连续点上有差别，二者在分析性质上（如可积性等）无重大差异，在讨论这样的函数性质可同等对待，者就是“可去”二字的含意。可去间断点也认为属于第一类间断点。 例3点0是函数的可去间断点。 事实上，已知，即 但点0不属于函数的定义域，而无意义。于是，点0是函数的可去间断点。补充点0的函数值为1，即 于是，函数在点0就连续了。称在点0的连续开拓。 例4点0是函数。 事实上，已知 即都存在。且从而点0是函数的第一类间断点。 例5狄利克雷函数 都是间断点，而且每个点都是第二类间断点。 事实上， 不讨论时有理数或无理数，存在有理数列，也存在无理数列，有 ， . 即在任意点都不存在极限，于是，每一点都是第二类间断点。 注 关于函数的间断点，自然要问： 1）是否存在函数所有间断点在稠密，而且都是第一类间断点？ 2) 是否存在函数所有间断点在稠密，而且都是第二类间断点？ 这个问题的回答是肯定的。例如，黎曼函数中每个无理点都连续，而在中每个有理点都是间断点，且在稠密，而且是第一类间断点。再例如，狄利克雷函数都是间断点，当然间断点在R稠密，而且每个点都是第二类间断点。 连续函数的局部性质 根据极限四则运算定理及函数连续的定义，立即可得连续函数的四则运算定理。 定理1 若函数连续，则它们的和，差，积，商函数 ，，，（） 在也连续。 由复合函数求极限定理及函数连续的定义，立即可得复合函数连续性的定理。 定理2 若函数连续，且，而函数在连续，则复合函数连续。 证明 已知连续，即，有 又已知连续，且，奇对上述，有 于是，，有 （） 已知指数函数连续，正弦函数连续，从而它们的复合函数在其定义域R也连续。 与极限的局部保号性类似，有连续函数的局部保号性定理。 定理3（局部保号性） 若函数