连续函数的性质讲解.ppt

* 函数与极限 第八节 连续函数的性质 连续函数的运算性质 初等函数的连续性 小结 思考题 作业 闭区间上连续函数的性质 第二章 极限与连续 定理1 如, 则 由于 在其定义域内连续. 在x0点也连续. 一 连续函数的运算性质 (函数和差积商的连续性) 如, 结论: 反三角函数在其定义域内皆连续 定理2 故 同理, 单调增加 且连续, 单调的连续函数 必有单调的连续反函数. 也是单调增加且连续. 单调减少且连续. 单调增加且连续. 单调减少且连续. (反函数的连续性) 定理3 (复合函数的连续性) 连续函数的复合函数是连续的. 设函数 即 且 即 则复合函数 定理4 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 二、初等函数的连续性 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 包含在定义域内的区间 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 如, 注　 在其定义域内不一定连续; 2. 初等函数求极限的方法 注　 代入法. 在 x = 0点的邻域内没有定义. 例 例 解 解 定义 设f (x)在区间I上有定义, 使得当 恒有 若存在点 为函数f(x)在区间I上的 最小 值, 记为 则称 (大) 三、闭区间上连续函数的性质 在闭区间上连续的 注 (1) 定理1中的条件“闭区间”和“连续性” 定理4(最大值和最小值定理) 函数一定有最大值和最小值. 是不可少的. 在开区间(0,1) 无最大值, 如: (1)函数 无最大值,无最小值. 无最小值. 有间断点 (2)函数 证 由定理4(最值定理), 定理5(有界性定理) 有 取 则有 的零点. 定理6(零点定理) 使得 几何意义: 如图所示. 几何意义: 之间的任何值(不会有任何遗漏). 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 至少有一个交点. 例 证 由零点定理, 注 闭区间上连续函数的性质常用于: 证明某些等式或判断某些方程根的存在性. 作业 习题 2.8 (66页) 1. 2. (1) 4. 5. 7. 提示 四、小结 连续函数的和差积商的连续性; 复合函数的连续性: 初等函数的连续性: 求极限的又一种方法. 两个定理; 两点意义. 反函数的连续性; 定义区间与定义域的区别; 注意条件　1. 闭区间; 2. 连续函数． 最值定理;有界性定理;零点定理;介值定理. 四个定理