D2_8连续函数运算.ppt

第八节 一、连续函数的运算法则 定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 例如, 求 求 例a . 二、初等函数的连续性 P87 例b. 求 例d. 求 例e. 设 内容小结 思考与练习 习题 第十二次 一、 连续函数的运算法则 连续函数的运算 和 初等函数的连续性 第二章 二、初等函数的连续性 定理2. 连续单调递增 函数的反函数 在其定义域内连续 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如, 在 上连续单调递增， 其反函数 (递减). (证明略) 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. 递增 (递减) 也连续单调 在 上连续 单调 递增, 其反函数 在 上也连续单调递增. 证: 设函数 于是 故复合函数 又如, 且 即 是由连续函数链 因此 在 上连续 . 复合而成 , 解: 解: ～ P53 设 均在 上连续, 证明函数 也在 上连续. 证: 根据连续函数运算法则 , 可知 也在 上 连续 . 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数在定义区间内连续 例如, 的连续区间为 (端点为单侧连续) 的连续区间为 的定义域为 因此它无连续点 而 解: 原式 例c. 求 解: 令 则 原式 说明: 当 时, 有 解: 原式 说明: 若 则有 解: 讨论复合函数 的连续性 . 故此时连续; 而 故 x = 1为第一类间断点 . 在点 x = 1 不连续 , 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续 初等函数在定义区间内连续 说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性. 续? 反例 x 为有理数 x 为无理数 处处间断, 处处连续 . 反之是否成立? 提示: “反之” 不成立 .