连续函数运算讲解.ppt

第九节 一、连续函数的运算法则 定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 例如, 例1 . 二、初等函数的连续性 例2. 求 例4. 求 例5. 设 三、闭区间上连续函数的性质 推论. 定理6. ( 介值定理 ) 例. 证明方程 *四. 一致连续性 例如, 内容小结 2. 闭区间上连续函数的性质 思考与练习 2. 3. 设 备用题 一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数的运算与性质 第一章 三、闭区间上连续函数的性质 *四、一致连续性 定理2. 连续单调递增 函数的反函数 在其定义域内连续 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如, 在 上连续单调递增， 其反函数 (递减). (证明略) 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. 递增 (递减) 也连续单调 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 上连续 单调 递增, 其反函数 在 上也连续单调递增. 证: 设函数 于是 故复合函数 又如, 且 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是由连续函数链 因此 在 上连续 . 复合而成 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 均在 上连续, 证明函数 也在 上连续. 证: 根据连续函数运算法则 , 可知 也在 上 连续 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (P15 题4) 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数在定义区间内连续 例如, 的连续区间为 (端点为单侧连续) 的连续区间为 的定义域为 因此它无连续点 而 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 例3. 求 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (P77 例1) (P77 例2) 解: 原式 说明: 若 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (P77 例3) 解: 讨论复合函数 的连续性 . 故此时连续; 而 故 x = 1为第一类跳跃间断点 . 在点 x = 1 不连续 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 定理4.（最值定理）在闭区间上连续的函数在该区间 即: 设 则 使 上一定有最大值和最小值. 或在闭区间内有间断 (证明略) 点 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定理 1 可知有 证: 设 上有界 . 定理5. ( 零点定理 ) 至少有一点 且 使 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 证明略 ) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 设 且 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 作辅助函数 则 且 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 推论: 使 至少有 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最 大值之间的任何值 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个根 . 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 说明: 内必有方程的根 ; 取 的中点 内必有方程的根 ; 可用此法求近似根. 二分法 在区间 内至少有 小结 目录 上页 下页 返回 结束 则 则 (P81 例6) 已知函数 在区间 I 上连续, 即: 一般情形, 就引出 了一致连续的概念 . 定义: 对任意的 都有 在 I 上一致连续 . 显然: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 但不一致连续 . (P82 例9) 因为 取点 则 可以任意小 但 这说明 在 ( 0 , 1 ] 上不一致连续 . 定理7. 上一致连续. (证明略) 思考: P16 题 17 提示: 设 存在, 作辅助函数 显然 机动 目录 上页 下页 返回 结束 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续 1. 初等函数在定义区间内连续 说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 初等函数在定义