连续函数的初等运算.ppt

第九节 连续函数的四则运算 初等函数的连续性 一、四则运算的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 四、小结 一、四则运算的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 四、小结 一、最大值和最小值定理 二、介值定理 * * * * 上次课回顾 3.函数在一点连续必须满足的三个条件; 5.间断点的分类与判别; ４.区间上的连续函数; 第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型. 间断点 1.无穷小的比较; 2.等价无穷小替换求极限; 定理1 例如, 三角函数在其定义域内皆连续. 定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数. 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续. 证 现要证 复合函数的极限运算法则 将上两步合起来: 意义 例1 解 =1 如果已知函数在某点连续，那么，在该点极限符号就可以与函数符号交换次序。 例2 解 定理4 注意　定理4是定理3的特殊情况. 例如, 三、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的. ★ ★ ★ ★ 基本初等函数在定义域内是连续的. 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 1.初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续; 注意　 例如, 这些孤立点的邻域内没有定义. 在0点的邻域内没有定义. 　2.初等函数求极限的方法:代入法. 例3 例4 解 解 连续函数的和差积商的连续性. 复合函数的连续性. 初等函数的连续性. 定义区间与定义域的区别; 求极限的一种方法:代入法. 两个定理 反函数的连续性. 第十节 闭区间上连续 函数的性质 定义: 例如, 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上的连续函数 一定有最大值和最小值. 注意: 1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. (有界性定理) 闭区间上的连续函数必有界. 证： 定义: 几何解释: 根的存在性定理 M B C A m a b 证： 由零点定理, 几何解释: 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值 与最小值 之间的任何值. 例1 证： 由零点定理, 例2 证： 由零点定理, 三、小结 有界性定理;最值定理;介值定理;(零点定理)根的存在性定理. 注意　1．闭区间； 2．连续函数． 这两点不满足上述定理不一定成立． 解题思路 1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理; 2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理; 思考题 下述命题是否正确？ 思考题解答 不正确. 例函数 思考题 思考题解答 是它的可去间断点 P68 1, 3,4,5 P73 1,2,3 复习第一章 做大作业