连续性间断点连续函数运算讲解.ppt

第八节 一、 函数连续性的定义 例 (P62). 证明函数 二、 函数的间断点 间断点分类: 例如(P63): 内容小结 思考与练习 P65 题5 提示: 备用题 确定函数 间断点的类型. 第九节 一、连续函数的运算法则 例4 (P67) 二、初等函数的连续性 例6 (P69). 求 例8 (P69). 求 内容小结 * * * 二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性与间断点 第一章 可见 , 函数 在点 定义(P61): 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数 continue 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 例(P62) 在 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 只要 都有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 在 内连续 . 证: 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点定义 在 在 (1) 函数 (2) 函数 不存在; (3) 函数 存在 , 但 不连续 : 设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为不连续点或间断点 . 在 无定义 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点分类 第一类间断点: 及 均存在 , 若 称 若 称 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 , 称 若其中有一个为振荡 , 称 若其中有一个为 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 为其无穷间断点 . 为其振荡间断点 . 为可去间断点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 显然 为其可去间断点 . (4) (5) 为其跳跃间断点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 左连续 右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一个不存在 在点 间断的类型 在点 连续的等价形式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 讨论函数 x = 2 是第二类无穷间断点 . 间断点的类型 机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案: x = 1 是第一类可去间断点 , P65题3(1) 第九节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 解: 间断点 为无穷间断点; 故 为跳跃间断点. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数的运算与 初等函数的连续性 第一章 在其定义域内连续 定理1(P66).在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例1 (P66) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4 定理3 (P66). 连续函数的复合函数是连续的. 是由连续函数 因此 在 上连续 . 复合而成 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 初等函数连续性 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数在定义区间内连续 例(P68) 的连续区间为 (端点为单侧连续) 的连续区间为 的定义域为 因此它无连续点 而 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 解: 原式 例7 (P69). 求 解: 令 则 原式 说明: 当 时, 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8 解: 原式 说明: 若 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结