第二篇 非线性方程求根.ppt

第二章 方程求根 第二章 方程求根 2.1 增值寻根法与二分法 2.2 迭代法（重点） 2.3 迭代收敛的加速 2.4 牛顿法（重点） 2.5 割线法 历史背景 代数方程的求根问题是一个古老的数学问题。理论上，n次代数方程在复数域内一定有 n个根(考虑重数)。早在16世纪就找到了三次、四次方程的求根公式，但直到19世纪才证明大于等于5次的一般代数方程式不能用代数公式求解，而对于超越方程就复杂的多，如果有解，其解可能是一个或几个，也可能是无穷多个。一般也不存在根的解析表达式。因此需要研究数值方法求得满足一定精度要求的根的近似解。 根的概念 给定方程 f (x)=0，如果有a使得f(a)=0，则称a为 f(x) =0的根 或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-a)mg(x)且g(a)?0 ， 则当m?2时，称a为f(x)=0的m重根； 当m=1时，称为f(x)=0的单根. 本章只讨论实根的求法. 本章重点介绍求解非线性方程的几种常见和有效的数值方法, 简单介绍一些最基本的解法.无论在理论上,还是在实际应用中,这些数值解法都是对经典的解析方法的突破性开拓和补充,许多问题的求解,在解析方法无能为力时,数值方法则可以借助于计算机出色完成. 2.1.1 增值寻根法 零点定理 零点定理： 设 ，且 ，则方程 在区间 上至少有一个根。如果 在 上恒正或恒负，则此根唯一。 等步长扫描 用计算机求有根区间：等步长扫描法。 设h0是给定的步长，取 ， 若 则扫描成功；否则令 ， 继续上述方法，直到成功。如果 则扫描 失败。再将h 缩小，重复以上步骤。 例题 例 设方程 解：取h=0.1,扫描得： 又 即 在 有唯一根。 2.2 二分法 设有非线性方程 f (x) =0 其中， f (x)为 [a ,b] 上连续函数且设 f (a) f (b)0 不妨设方程于 [a ,b] 内仅有一个实根。 求方程实根 x* 的二分法过程，就是将 含根区间 [a ,b] 逐步分半，检查函数符号 的变化，以便确定含根的充分小区间。 示意图 二分法的步骤 用二分法(将区间对平分)求解。 令 若 ，则 为有根区间，否则 为有根区间 记新的有根区间为 ， 则 且 二分法 对 重复上述做法得 且 设 所求的根为 ， 则 即 取 为 的近似解，则 收敛速度 可用二分法求方程 实根 x* 的近似值到任意指定的精度。事实上，设ε为给定精度要求，试确定分半次数 n使 由 两边取对数，即得 且二分法收敛速度与公比为1/2的等比级数相同。 计算结果 2.2.1 迭代法基本思想 对于 有时可以写成 形式 如： 迭代法及收敛性 考察方程 。 一般不能直接求出它的根。 但如果给出根的某个猜测值 ， 代入 中的右端得到 ， 再以 为一个猜测值， 代入 的右端得 反复迭代得 简单迭代法（单点迭代法） 将 变为另一种等价形式 。 选取 的某一近似值 ，则按递推 关系 产生的迭代序列 。这种方法算为单点迭代法。 形如 的迭代公式称为多点迭代法。 迭代法及收敛性 若 收敛，即 则得