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第7章 非线性方程求根7．1 方程求根与二分法 1.引言 设 若有 使 则称 是方程 的根或 的零点。 若 ， 当 时,称 为方程 的单根，当 时,称 为方程 的m重根或 的m重零点。 定理 若 有m阶导数，则 是 的 m重根的充分必要条件是 ， 。 2.二分法 零点定理 若 又 则 。 依据零点定理对区间 逐次分半进行根的搜索，这就是二分法。 具体作法如下： 定理 设 又 则由 二分法得到的 收敛于根 ，且有根的 近似值 误差估计式： 。 7．2 迭代法及收敛性1.不动点迭代法的概念 将 改写成等价形式 。若有 使 ,则将 称为 的不动点。 求 的根 ,也就是找 的不动点。 设选择 （初始近似值）并构造 （2. 2） 计算公式（2. 2）称为迭代格式, 称为迭 代函数,得到的 称为迭代序列,用公式 （2. 2）逐步代入求近似解的方法称为迭代法(或 不动点迭代法)。 若 ,则称迭代收敛,否则,就称迭代 发散。若 , 迭代都收敛，则称迭 代全局收敛。 压缩映象原理 设 若 (1)当 时，有 ， (2) 使 有 则 使 。 压缩映象原理证明 2.全局收敛 全局收敛性定理 设 若 时，有 ; ，使 有 迭代公式 则 , 迭代法收敛，且有以下估计式 注：全局收敛性定理中条件(2)换成 , ，定理结论仍成立。 3．局部收敛和p阶收敛 定义 若 是 的不动点， ,使