第8章非线性方程求根.ppt

使用Matlab求解得迭代4次就可以得到相当精确的结果。 n x y z t 0 0.0 0.0 0.0 10010.007 1 6.368727 0.374601 -2.403971 9.985218 2 4.984063 3.018241 1.046303 10000.266 3 5.000160 2.999808 0.999585 9999.998 4 5.000000 3.000000 1.000000 10000.000 它的解是： 历史与注记 艾萨克·牛顿（Isaac Newton 1642—1727） 牛顿是英国物理学家、数学家、天文学家和自然哲学家。1643年诞生于英格兰林肯郡乌尔索普镇。1727年卒于伦敦。1665年他发现了二项式定理，1669年担任卢卡斯讲座的教授，1696年牛顿任造币厂监督，1699年升任厂长,1705年因改革币制有功受封为爵士，1672年起他被接纳为皇 家学会会员，1703年被选为皇家学会主席直到逝世。 牛顿是有史以来最伟大的科学家之一，他在力学、数学、光学、热学、 天文学和哲学方面都有突出的贡献。他在数学方面的贡献为：牛顿将古希 腊以来求解无穷小问题的种种特殊方法统一为两类算法：正流数术（微分 ）和反流数术（积分），与此同时，他还在1676年首次公布了他发明的二 项式展开定理。并和G.W.莱布尼茨几乎同时创立了微积分学。牛顿在数值 计算上的主要贡献有：牛顿插值法、牛顿积分法、牛顿迭代法等。 关于特殊的非线性方程求根问题的迭代法最早出现在古希腊、巴比伦和 印第安人的著作中。牛顿法的只有一部分属于牛顿本人，1669年牛顿第一次 提出了与现在牛顿法基本等价的方法，但令人惊讶的是该方法并没有使用导 数，而是基于二项展开式，因此只适用于多项式。1690年，拉弗森对牛顿法 作了简化和改进，称为牛顿—拉弗森法。在牛顿法中使用导数是由辛普森17 40年首次提出的，并将其从一维空间推广到多维空间，这才是现在所称的牛 顿法。1798年，拉格朗日提出了牛顿法简单而精巧的表达式，并在1831年由 傅立叶作了推广。非线性方程组的大多数方法都采用了牛顿法的设计原理， 并以牛顿法为度量标准。“牛顿法”以成为将不同类型非线性方程组局部线性 化的一个经典范例。关于一维非线性方程组的解法的经典方法的详细资料可 参考文献[1,2,3]，若想进一步了解近期的研究成果可参考文献[4,5] 参考文献 [1] J. F. Traub. Iterative Methods for the Solution of Equations. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1964. [2] A. M. Ostrowski. Solution of Equations and Systems of Equations. Academic, New York, 2d edition, 1966. [3] A. S. Householder. The Numerical Treatment of a Single Nonlinear Equation. McGraw-Hill, New York, 1970. [4] C. T. Kelley. Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations. SIAM, Philadelphia, PA, 1995. [5] W. C. Rheinboldt. Methods for Solving Systems of Nonlinear Equations. SIAM, Philadelphia, PA, 2d edition, 1998. * * 由定理2知 为了使新的迭代格式比原来迭 代格式收敛得更快，只要满足 且 越小，所获取的L就越小， 迭代法收敛的就越快，因此我们希望 。 可取 ，若记 则（5.3.4）式可改写为 称为松弛因子，这种方法称为松弛法。为使迭代速度加快， 需要边计算边调整松弛因子。由于计算松弛因子需要用到微商， 在实际应用中不便使用，具有一定局限性。若迭代法是线性收 敛的，当计算 不方便时，可以采用埃特金加速公式。 (2) 埃特金加速公式 设迭代法是线性收敛，由定义知 成立，故当 时有 由此可得 的近似值 （5.3.5） 由此获得比 和 更好的近似值 ，利用（5.3.5） 序列 的方法称为 (3) Steffensen 加速法 将Aitken加速公式与不动点迭代相结合，可得 （5.3.6） 式