《数值分析与算法》第二讲-非线性方程求根.pptx

数 值 分 析 (2)Numerical Analysis第二章 非线性方程求根引言二分法不动点迭代法牛顿迭代法牛顿法的改进有关的实用技术Wenjian Yu引言Wenjian Yu非线性方程基本理论???Wenjian Yu非线性方程基本理论??(绝对条件数)Wenjian Yu二分法Wenjian Yu二分法??Wenjian Yu二分法?算法稳定性: 运算简单, 误差逐渐缩小, 因此稳定?Wenjian Yu 二分法?(‘format hex’按16进制显示)相邻的两个浮点数?(定理2.2)?Wenjian Yu二分法的总结???Wenjian Yu不动点迭代法Wenjian Yu不动点迭代???推出迭代法:?为什么？??计算过程的几何含义x2x1x0x* xWenjian Yu不动点迭代?????(5位有效数字不变)??(计算量较小)关键问题：如何判断收敛性？Wenjian Yu全局收敛的充分条件?????????唯一性的证明用反证法??Wenjian Yu全局收敛的充分条件?????(条件(1)是算法执行的前提)??Wenjian Yu全局收敛的充分条件?????便于使用这就是定理2.5为什么可以换？???Wenjian Yu全局收敛的充分条件??????, 满足条件(2)’ !不满足条件(1), 无法说明是否收敛?思考: 从图形角度, 举不满足条件(1), (2)但收敛的例子Wenjian Yu局部收敛???(强调存在某个邻域)(利用定理2.5)????满足条件(1). 根据定理2.5, 收敛！Wenjian Yu局部收敛???可能???误差有放大的趋势Wenjian Yu稳定性与收敛阶???(合理设置判停准则, 稍后讲牛顿法时介绍)?线性?平方(超线性)?Wenjian Yu稳定性与收敛阶????????Wenjian Yu稳定性与收敛阶?????? 矛盾!?方法q阶收敛.?Wenjian Yu牛顿法Wenjian Yu牛顿法????=0?xk+1xkx* x?????Wenjian Yu牛顿法??????(请自行推导)??Wenjian Yu牛顿法????(课本2.4.2小节)Wenjian Yu迭代法的判停准则?判停准则决定了解的准确度、及迭代步数(计算量)?相比二分法, 较难设置敏感问题?Wenjian Yu牛顿法的问题???????一阶导数不连续!Wenjian Yu割线法与抛物线法Wenjian Yu割线法与抛物线法????xk-1xk+1xkx* x(超线性)Wenjian Yu割线法与抛物线法?y?抛物线?x0xk xk-1 xk-2xk+1 Wenjian Yu实用的求根技术Wenjian Yu实用的方程求根技术阻尼牛顿法多项式方程求根 (2.6.2小节不要求)通用求根算法zeroin (简略)Wenjian Yu阻尼牛顿法?????Wenjian Yu通用求根算法zeroin?Wenjian Yu通用求根算法zeroin???纠正上一步解的偏离???????????Wenjian Yu通用求根算法zeroin?详细的Matlab算法程序见课本pp. 50Wenjian Yu应用实例?(2.7.1节不要求)?Wenjian Yu应用实例??x , t最大值1?x , t最小值0?见t_pipe.mWenjian Yu