江西省宜春市宜春中学高中数学学案：数乘向量 （学生版） 必修四[ 高考].doc

学习目标： 1.了解数乘向量的概念，并理解这种运算的几何意义. 2. 理解并掌握数乘向量的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算. 3. 理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题. 重点：数乘向量的定义。 难点: 正确用法则、运算律进行向量的线性运算。 预习案 使用方法与学法指导 1.实数λ与向量a可作数乘，但实数λ不能与向量a进行加、减运算，如λ＋a，λ－a都是无意义的.还必须明确λa是一个向量，λ的符号与λa的方向相关，|λ|的大小与λa的模长有关. 2.利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何问题。 自主学习 1.数乘向量运算 实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫作向量的 ??????，记作?????，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝????????. (2)λa(a≠0)的方向, ； 特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝????或λ0＝????. 2.数乘向量的运算律 (1)λ(μa)＝???????????. (2) (λ＋μ)a＝?????????????. (3)λ(a＋b)＝?????????????. 特别地，有(－λ)a＝????????????＝ ? ； λ(a－b)＝??????????????. 3.向量共线判定定理 a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得?? ?????????，则向量b与非零向量a共线. 4.向量的线性运算 向量的????? ?、???? ??、???????运算统称为向量的线性运算，对任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝? 探究案 1.合作探究（学习建议：请同学们用5分钟左右的时间认真思考问题，并结合预习中自己的疑惑开始下面的探究活动。） 探究点一：向量的线性运算 例1.计算: (1) (2)设向量求　 规律性方法总结：向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数. 拓展提升：计算： (1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)； ()6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c). ，，作，，.试判断A、B、C三点之间的位置关系，并说明理由. 规律性方法总结：本题给出了证明三点共线方法，利用向量共线定理，关键是找到唯一实数λ，使a＝λb，先证向量共线，再证三点共线.已知两个非零向量1和2不共线，如果＝21＋32，＝61＋232，＝41－82，求证：A、B、D三点共线. 若非零向量a与b不共线，ka＋b与a＋kb共线，试求实数k的值例4　如图，?ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，你能用a、b表示、、 和吗？ 规律性方法总结：结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决这类几何题的关键 拓展提升：如图，在△ABC中，=, =，AD为边BC的中线， G为△ABC的重心，求向量 训练案 一、基础过关 1．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则2．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．B、C、D B．A、B、C C．A、B、D D．A、C、D 3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则(　　) A．P在△ABC内部 B．P在△ABC外部 C．P在AB边上或其延长线上 D．P在AC边上 4．在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且＝4＝r＋s，则r－s等于 5．若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量y＝________________. 6如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝______.(填写正确的序号) ①－＋；②－－； ③－；④＋. 7．如图所示，在ABCD中，＝a，＝b， ＝3，M为BC的中点，试用a，b表示. 二、能力提升 ．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝_________ 9．已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 1．在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的