李铁成微积分讲义4.2.pdf

第章 导数 年秋季学期第周学习材料 导导导数数数的的的概概概念念念 导导导数数数的的的运运运算算算法法法则则则 高高高阶阶阶导导导数数数 ′ ′ ′ 设I 是开区间，函数f I → R可导，则得到函数f I → R，称f 为f 的一阶导函数；若函数f I → R仍可 ′ ′ ′ ′ ′′ d f 导，则得到函数f I → R，称f 为f 的二阶导函数，简记f 或 类似可定义 dx n f ′′′ d f , f d f , · · · , f n d f . dx dx dxn 例 求n x和n x 解： ′ ( π ) x x x , ′′ ′ ( π ) ( π π ) ( π ) x x x x , · · · , n ( nπ ) x x . 同理 n ( nπ ) x x . 例高阶求导公式 设f 和g具有n阶导数，则 n f · gn ∑ Ck f kg n−k . n k n x和n x 证：用归纳法。当n 时， ′ ′ ′ f · g f · g f · g . 假设n m时，公式成立，即 m f · gm ∑ Ck f k · g m−k , m k 则 f · gm ∑m Ck f k · g m−k f k · g m−k k m