非常好的定积分与微积分基本定理复习讲义.doc

PAGE 定积分与微积分基本定理复习讲义 [备考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题． 2.考查简单定积分的求解． 3.考查曲边梯形面积的求解． 4.与几何概型相结合考查． [归纳·知识整合] 1．定积分 (1)定积分的相关概念：在eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,a)f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,a)f(x)dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． ②一般情况下，定积分eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,a)f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质： ①eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,a)kf(x)dx＝keq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,a)f(x)dx. ②eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,a)[f1(x)±f2(x)]dx＝eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,a)f1(x)dx±eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,a)f2(x)dx. ③eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,a)f(x)dx＝eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(c,a)f(x)dx＋eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,c)f(x)dx. [探究]　1.若积分变量为t，则eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,a)f(x)dx与eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,a)f(t)dt是否相等？ 提示：相等． 2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算． 3．定积分eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,a)[f(x)－g(x)]dx(f(x)g(x))的几何意义是什么？ 提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,a)f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式． 为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)eq \a\vs4\al(|)eq \o\al(b,a)，即 eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,a)f(x)dx＝F(x)eq \a\vs4\al(|)eq \o\al(b,a)＝F(b)－F(a)． 课前预测： 1.eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(4,2)eq \f(1,x)dx等于(　　) A．2ln 2　　B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2 2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为(　　) A.eq \f(17,6) B.eq \f(14,3) C.eq \f(13,6) D.eq \f(11,6) 3．(教材习题改编)直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积为________． 4．(教材改编题)eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(1,0)eq \r(1－x2)dx＝________. 5．由y＝eq \f(1,x)，直线y＝－x＋eq \f(5,2)所围成的封闭图形的面积为________ 考点一 利用微积分基本定理求定积分 [例1]　利用微积分基本定理求下列定积分： (1)eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(2,1)(x2＋2x＋1)dx；(2)eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(π,0)(sin x－cos x)dx； (3)eq \a\vs4\al(∫)eq