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微积分复习资料 讲义答案.doc

发布:2017-03-06约1.71千字共18页下载文档
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微积分讲义答案 极限篇 一、首先回顾一下两个重要极限: 1.=0 2. 3. 4. 5. *练习 同1解法 基本的无穷小量等价替换 当时, . 求导篇 是由方程所确定,求. 解: (两边求导) 当时, 故即 已知,求, 解: (两边求导) 代入 故 求导: ① ② ③ ④ (复合求导)已知一阶导数存在,,求. (反函数)已知,求,. = 若,求. 解:取对数; ; ∴。 *练习 ,求. 设 ,求. =.. 微分定理篇(注:标记为稍难题) 设,证明方程在内必有实根. 解: 又有,由Rolle定理有,使得,得证. 2.设在上二次可导,且. 证明 :①在区间内 ②在区间内至少存在一点使 解:①假设使得 ② 函数在上连续,在内可导,且有证明在内至少有一点,使成立 解题思路:我们知道,变形 联想到有 即要证明:证明在内至少有一点,使成立。 这很容易,因为,由,我们有,再由Rollo定理即有: 在内至少有一点,使成立 然而,关键的一步在于如何构造函数, 对于,观察其形式,我们设,有,对比各式相等有 变形有,积分有,得到。这样就顺利的解出了这道题。 4.上二阶可导,且,又在内取到最大值。 证明: 解: 5.函数上可导,且 证明:在上存在两点 证明:取,则由拉格朗日中值定理得 则 在[0,1]上可导,则在[0,1]上连续,且 ∴由介值定理得使; 则 则 ∴在上存在两点证毕. 6.函数上二阶可导,且 证明:在内至少存在一点,使 解: 求极限 ① 解: =3 ② 解: ③ 解: ④ 解: (型) 泰勒展开 故原式 设存在,且,求. 解: 设,求. 解:由泰勒公式,将sinx在x=0处展开得到 又将f(x)直接由泰勒公式在x=0处展开有 令k=99,i=48 有 解得 10.设f(x)在上二阶可导,且,,证明x(0,2),有. 解:假设,使 首先考虑,由上式得有 且 即, 又,有 则产生矛盾,假设不成立,故 设,且,证明. 解:由于,, 设 且 即证 12.函数f(x)在x=0的某一邻域有二阶导数,且,求. 解: 由于, 又, 由泰勒公式,在x=0处展开有 即 13.设f(x)在上二阶可导,且,,证明至少存在一点,使. 解:x0∈(0,1), 使 又 ∴中至少有一个大于等于8,其中 证毕 不定积分篇 令,则, 原式= = = = 令x=tant,则arctanx=t,dx=sec2tdt 3. 4. 6. 特别鸣谢:张益硕学长 钟樾学长 全心全意 服务为你 2
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