微积分复习资料 讲义答案.doc
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微积分讲义答案
极限篇
一、首先回顾一下两个重要极限:
1.=0
2.
3.
4.
5.
*练习
同1解法
基本的无穷小量等价替换
当时,
.
求导篇
是由方程所确定,求.
解: (两边求导)
当时,
故即
已知,求,
解: (两边求导)
代入
故
求导:
①
②
③
④
(复合求导)已知一阶导数存在,,求.
(反函数)已知,求,.
=
若,求.
解:取对数;
;
∴。
*练习
,求.
设
,求.
=..
微分定理篇(注:标记为稍难题)
设,证明方程在内必有实根.
解:
又有,由Rolle定理有,使得,得证.
2.设在上二次可导,且.
证明 :①在区间内
②在区间内至少存在一点使
解:①假设使得
②
函数在上连续,在内可导,且有证明在内至少有一点,使成立
解题思路:我们知道,变形
联想到有
即要证明:证明在内至少有一点,使成立。
这很容易,因为,由,我们有,再由Rollo定理即有:
在内至少有一点,使成立
然而,关键的一步在于如何构造函数,
对于,观察其形式,我们设,有,对比各式相等有
变形有,积分有,得到。这样就顺利的解出了这道题。
4.上二阶可导,且,又在内取到最大值。
证明:
解:
5.函数上可导,且
证明:在上存在两点
证明:取,则由拉格朗日中值定理得
则
在[0,1]上可导,则在[0,1]上连续,且
∴由介值定理得使;
则
则
∴在上存在两点证毕.
6.函数上二阶可导,且
证明:在内至少存在一点,使
解:
求极限
①
解:
=3
②
解:
③
解:
④
解: (型)
泰勒展开
故原式
设存在,且,求.
解:
设,求.
解:由泰勒公式,将sinx在x=0处展开得到
又将f(x)直接由泰勒公式在x=0处展开有
令k=99,i=48 有
解得
10.设f(x)在上二阶可导,且,,证明x(0,2),有.
解:假设,使
首先考虑,由上式得有
且
即,
又,有
则产生矛盾,假设不成立,故
设,且,证明.
解:由于,,
设
且
即证
12.函数f(x)在x=0的某一邻域有二阶导数,且,求.
解:
由于,
又,
由泰勒公式,在x=0处展开有
即
13.设f(x)在上二阶可导,且,,证明至少存在一点,使.
解:x0∈(0,1), 使
又
∴中至少有一个大于等于8,其中
证毕
不定积分篇
令,则,
原式=
=
=
=
令x=tant,则arctanx=t,dx=sec2tdt
3.
4.
6.
特别鸣谢:张益硕学长
钟樾学长
全心全意 服务为你
2
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