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高中微积分基本知识 极限与连续 数列的极限 数列 定义： 按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数 叫数列，记作，并吧每个数叫做数列的项，第n个数叫做数列的第n项或通项 界的概念： 一个数列，若，对，都有，则称是有界的： 若不论有多大，总，，则称是无界的 若，则称为的下界，称为的上界 有界的充要条件：既有上界，又有下界 数列极限的概念 定义： 设为一个数列，为一个常数，若对，总,当时，有 则称是数列的极限，记作或 数列有极限时，称该数列为收敛的，否则为发散的 几何意义： 从第项开始，的所有项全部落在点的邻域 数列极限的性质 ①唯一性 ②收敛必有界 ③保号性：极限大小关系数列大小关系（时） 函数的极限 1.定义：两种情形 ①：设在点处的某去心邻域内有定义，为常数，若对，，当时，恒有成立， 则称在时有极限 记作或 几何意义：对，，当时，介于两直线 单侧极限：设在点处的右侧某邻域内有定义，为常数，若对，，当时，恒有成立，称在处有右极限， 记作或 的充要条件为：= 垂直渐近线：当时，为在处的渐近线 ②：设函数在上有定义，为常数，若对，当时，有成立，则称在时有极限，记作 或 的充要条件为： 水平渐进线： 若或，则是的水平渐近线 2.函数极限的性质： ①唯一性 ②局部有界性 ③局部保号性（②③在当时成立） 极限的运算法则 四则运算法则 设、的极限存在，则 ① ② ③ （当时） ④ （为常数） ⑤ （为正整数） 复合运算法则 设，若，则 可以写成 （换元法基础） 四、极限存在准则及两个重要极限 1．极限存在准则 ①夹逼准则 设有三个数列，，，满足 ， 则 ②单调有界准则 有界数列必有极限 重要极限 ① ② 或 五、无穷大与无穷小 1．无穷小： 在自变量某个变化过程中，则称为x在该变化过程中的无穷小 ※ 若，则为x在所有变化过程中的无穷小 若，则不是无穷小 性质：1.有限个无穷小的代数和为无穷小 2.常量与无穷小的乘积为无穷小 3.有限个无穷小的乘积为无穷小 4.有极限的量与无穷小的乘积为无穷小 5.有界变量与无穷小的乘积为无穷小 定理：的充要条件是，其中为x在该变化中过程中的无穷小 无穷小的比较：(趋于0的速度的大小比较) ，为同一变化过程中的无穷小 若（常数） 则是的同阶无穷小 （当时为等价无穷小） 若（常数） 则是的k阶无穷小 若 则是的高阶无穷小 常用等价无穷小：()； ；； 2．无穷大： 设函数在的某去心邻域内有定义。若对于，当时，恒有 称当时为无穷大，记作 定理： （下：趋于某点，去心邻域不为0） 无穷大的乘积为无穷大， 其和、差、商不确定 六、连续函数 1．定义 设函数在某邻域有定义，若对，当时，恒有： 也可记作 或 （或）为左（或右）连续 2．函数的间断点 第一类间断点：左右极限存在 第二类间断点：无穷间断点，震荡间断点等 3.连续函数的运算 若函数与都在处连续，则函数 ，， （） 定理：，，若在处连续，在处连续，则在处连续 闭区间连续函数的性质 最值定理：在上连续， 则，对一切有 ②介值定理：在上连续，对于与之间的任何数，至少一点， 导数 一、导数的概念 定义：设函数在点的某邻域有定义，如果极限 存在，则称函数在点可导，极限值为函数在点处的导数，记为 单侧导数：设函数在点处的左侧有定义，若极限 存在，则称此极限为函数在点处的左导数，记为，类似有右导数 导函数：函数在某区间上可导，则 性质：①函数在点处可导的充要条件 ②可导连续 导数的几何意义： 函数点处的切线斜率 二、求导法则 1．函数的和、差、积、商的求导法则 定理：若都在x处可导，则函数在x处也可导，且 定理：若都在x处可导，则函数在x处也可导，且 推论：若都在x处可导，则函数在x处也可导，且 定理：若都在x处可导，则函数在x处也可导，且 2．反函数的求导法则 定理：设函数在上单调可导，它的值域为，而，则其反函数在区间上可导，并且有 复合函数的求导法则 定理：若函数在可导，函数在点可导，则复合函数在处可导 或 （连锁规则） 三、高阶导数 定义：若函数的导数仍可导，则导数为的二阶导数，记作， 类似的，