微积分基本公式.ppt

高等数学电子教案武汉科技学院数理系高等数学电子教案武汉科技学院数理系0504020301第二节微积分基本公式前面我们已经研究了定积分的定义,利用定义求定积分很不方便本讲介绍计前算定积分的方法。一,引例考察变速运动中路程函数s(t)与其导数--速度函数v(t)之间的关系物体在时间区间[t0,T]经过的路程,可以用表示具体的做法是把路程函数s(t)在[t0,T]之间分成n小段,在每一小段中用v(τi)△t表示,它们的和就是整个路程.当△t→0时的极限得到变速运动的路程另一方面,这段路程又可以通过路程函数s(t)在区间[t0,T]上的增量S(T)-S(t0)来计算,S=S(T)-S(t0)于是单击此处添加小标题而S’(t)=v(t),(1)式表明:速度函数在区间[t0,T]上的定积分等于它的原函数S(t)在[t0,T]上的增量△S=S(T)-S(t0)单击此处添加小标题我们在(1)式中得到单击此处添加小标题式把定积分和被积函数的原函数相互联系起来,如果是这样,那我们求定积分可以借助不定积分求出来.问题就显然得到解决.这个方法由牛顿和莱布尼茨两人独立完成的,我们称为牛顿-莱布尼茨公式(它的证明在第3部分中.)为了更好的研究牛顿-莱布尼茨公式,我们引入“积分上限的函数”这个概念二积分上限的函数及其导数设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且x∈[a,b],则f(x)在部分区间[a,x]上也连续,从而可积,定积分的字母无关)(定积分同它自变量)存在,当x在区间[a,b]内变动时,则每一个x值对应的一个值在区间[a,b]上定义一个函数所以变上限积分的函数是被积函数的一个原函数这个函数是积分上限x的函数,称为变上限积分的函数.定理1设函数f(x)在区间[a,b]上连续,则变上限积分的函数在[a,b]上可微,且它的导数这个定理指出一个重要结论:连续函数f(x)取变上限x的定积分然后求导,其结果还原为f(x)本身.由原函数的定义,我们知道φ(x)是连续函数f(x)的一个原函数.因此,这里引出定理2定理2如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数这定理的重要意义是:一肯定了连续函数的原函数是存在的.二.它初步揭开定积分和原函数之间的联系,我们可以用原函数来计算定积分这里我们补充定理1的3个推理例1求下列导数添加标题例3求极限添加标题当x→0时,为0/0型.用罗必塔法则0102其中,当x→0时,sinx→x,arctgx→x添加标题微积分基本公式--牛顿-莱布尼茨公式添加标题Newton-Leibniz设F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则添加标题证明:根据定理1我们得到此定理表明:在某区间[a,b]上,连续函数f(x)的定积分等于它的任意一个原函数在该区间的增量△F=F(b)-F(a).这样我们将求定积分的问题化为求原函数或计算不定积分,这是计算定积分的主要方法.我们称为微积分的基本公式.例5添加标题例6计算添加标题例4添加标题分析:计算被积函数有绝对值时,可将被积函数化为分段函数再积分.添加标题例7求极限单击此处添加小标题分析:求这类和式的极限,可将其转化为积分和的极限,再用定积分计算.记原式为单击此处添加小标题将区间[0,1]作n等分,则1/n=△xi(i=1,2,3...n),这时n→∞相当于λ=△xi→0;取ξ=i/n为每个小区间△xi的右端点;由于函数1/(1+x2)在区间[0,1]上连续,从而可积,于是积分单击此处添加小标题与分法及取法无关,可用上述分法与取法,这样一来,原式例8计算1.∫cosxdx.2.∫0π/2cosxdx.3.∫0xcosxdx,并由此说明不定积分,定积分,变上限定积分三者之间的关系.解:高等数学电子教案武汉科技学院数理系高等数学电子教案武汉科技学院数理系