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第三节 微积分基本公式 一、问题的提出 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿—莱布尼茨公式 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 一、引例 考察定积分 记 积分上限函数 二、积分上限函数及其导数 积分上限函数的性质 证明 由积分中值定理得 证明 由复合函数求导法，得到 解 证明 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系. 证明 三、牛顿—莱布尼茨公式 牛顿—莱布尼茨公式 微积分基本公式表明： 注意 求定积分问题转化为求原函数的问题. 原式 解 解 解 由图形可知 解 解 解 牛顿(Newton)（1643—1727） 英国数学家、物理学家、天文学家、自然哲学家。1665-1666年间做出流数术、万有引力和光的分析三大发明，年仅23岁。 他在数学上以创建微积分而著称，其流数法始于1665年，系统叙述于《流数法和无穷级数》，首先发表在《自然哲学之数学原理 》（1687）中。其中借助运动学中描述的连续量及其变化率阐述他的流数理论，并创用字母上加一点的符号表示流动变化率。 牛顿确立了微分与积分这两类运算的互逆关系， 即微积分基本定理。 此外他还论述了有理指数的二 项定理（1664）、数论、解析几何、曲线分类、变分 法等问题。在物理学上发现了万有引力定律（1666- 1684），并据此指出行星运行成椭圆轨道的原因。 1666年用三棱镜实验光的色散现象，1668年发明并亲手制作了第一具反射望远镜。在哲学上深信物质、运动、空间和时间的客观存在性，坚持用观察和实验方法发现自然界的规律，力求用数学定量方法表述的定律说明自然现象，其科学研究方法支配后世近300年的物理学研究。 　 牛顿对于他的成就，却一直十分谦虚，在其晚年 之时，他写到: If I have seen father than Descartes， it is because I have stood on the shoulders of giants.