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教学目的与要求： 理解变上限的积分及其求导定理 掌握牛顿—莱布尼兹公式 重点： 积分上限函数及定积分与不定积分的联系：掌握牛顿—莱布尼兹公式 难点： 积分上限是复合函数的求导公式 一、问题的提出 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿—莱布尼茨公式 四、小结 * 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼兹公式 一、问题的提出 第二节 微积分的基本公式 第五章 Newton Leibniz 微积分学的创始人 牛顿(1642 – 1727) 伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文 学家和自然科学家. 他在数学上的卓越 贡献是创立了微积分. 1665年他提出正 流数 (微分) 术 , 次年又提出反流数(积分)术, 并于1671 年完成《流数术与无穷级数》一书 (1736年出版). 他 还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等 . Newton 莱布尼兹(1646 – 1716) 德国数学家, 哲学家. 他和牛顿同为 微积分的创始人 , 他在《学艺》杂志 上发表的几篇有关微积分学的论文中, 有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿 . 他还设计了作乘法的计算机 , 系统地阐述二进制计 数法 , 并把它与中国的八卦联系起来 . Leibniz 进入21世纪， 莱布尼兹对计算机科学的影响会怎样呢？ 我们不妨试目以待！ 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 . 考察定积分 记 积分上限函数 积分上限函数的性质 证 由积分中值定理得 说明: 定理 1 变限积分求导: 为通过原函数计算定积分开辟了道路 . 例1 求 解 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使 解: 原式 = c ≠0 , 故 又由 ～ , 得 证 证 令 定理2（原函数存在定理） 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 定理 3（微积分基本公式） 证 ( 牛顿 - 莱布尼兹公式) 令 令 牛顿—莱布尼茨公式 微积分基本公式表明： 注意 求定积分问题转化为求原函数的问题. 例5. 计算 解: 例6 求 原式 例7 解 解 设 求 例8 求 解 由图形可知 例9 求 解 解 面积 例11. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 , 速停车, 解: 设开始刹车时刻为 则此时刻汽车速度 刹车后汽车减速行驶 , 其速度为 当汽车停住时, 即 得 故在这段时间内汽车所走的距离为 刹车, 问从开始刹 到某处需要减 设汽车以等加速度 车到停车走了多少距离? 3.微积分基本公式 1.积分上限函数 2.积分上限函数的导数 牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系． 思考题 思考题解答 * * * *