微积分基本公式.ppt

* 例 解 如被积函数有绝对值, 注 再用 去掉后, N--L公式. 应分区间将绝对值 * 例 已知函数 求积分上限的函数 解 分段函数 错! * 正确做法 * 例 试证明:积分中值定理中的 可在开区间 取得, 即如果 则至少 存在一点 使得 * 证 令 由定理1 (原函数存在定理)知: 可导, 根据拉格朗日中值定理, 至少存在一点 使得 即 * 例 解 此极限实为一积分和的极限. * 定积分是代数和的推广, 无穷小的无限项的代数和. 即它表示每项为 ● 用定积分求极限时, ● 需将(1)式中的两个 任意量 用特殊的值处理. * 2002年考研数学(二)填空3分 填空题 解 原式 * 解 原式= * 微积分基本公式 积分上限函数(变上限积分) 积分上限函数的导数 牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系． 四、小结 注意其推论. * 思考题1 对吗? 错! * 分析 其中的x对积分过程 是常数, 而积分结果 是x的函数. 若被积函数是积分上限(或下限)的函数中的 注意 变量 x 及积分变量 t 的函数时, 应注意 x与t 的区别. 对 x求导时, 绝不能用积分上限(或下限)的变量x替 换积分变量. * 故 正确解答 因为 * 思考题2 已知两曲线 在点 处的切线相同, 写出此切线方程, 并求极限 2002年考研数学(一)7分 * 解 故所求切线方程为 * 作业 习题5-2 (240页) 2. 3. 4. 5. 6. 9. 10. 11. 12. * 第二节 微积分基本公式 问题的提出 积分上限函数及其导数 牛顿 — 莱布尼茨公式 (v(t)和s(t)的关系) ★ ☆ ☆ fundamental formula of calculus 第五章 定积分 * 通过定积分的物理意义, 例 (v(t)和s(t)的关系) 设某物体作直线运动, 已知速度 的一个连续函数, 求物体在这段时间内所经过的路程. 是时间间隔 一、问题的提出 积分的有效、简便的方法. 找到一个计算定 * 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 其中 如果能从v(t)求出s(t), 运算. 定积分 运算就可化为减法 启发 * 如果能从v(t)求出s(t), 这正是第四章已经解决了的微分运算的 定积分的计算有捷径可寻 进行一般性 的讨论. 运算. 定积分 运算就可化为减法 启发 不定积分问题. 逆运算 — * 定积分 积分上限函数 注 一定要分清函数的 如果上限 x 在区间[a,b]上任意变动, 每一个取定的x值, 则对于 定积分有一个对应值, 所以它 在[a,b]上定义了一个函数, 设f (x)在[a,b]中可积, 则对任一点 与 自变量x 积分变量t. 二、积分上限函数及其导数 * 这个函数的几何意义 下面讨论这个函数的可导性. 是如图红色部分 的面积函数. * 定理1 (原函数存在定理) 从而 * 证 因为 积分中值定理 定积分性质3 * 积分中值定理 故 * 定理1指出: 积分联结为一个有机的整体 (2) 连续函数 f (x) 一定有原函数, 就是f(x)的一个原函数. (1) 积分运算和微分运算的关系, 它把微分和 所以它是微积分学基本定理. 函数 — 微积分, * 推论 * * 例 解 * 例 解 * 例 解 * 例 解 这是 型不定式, 分析 应用洛必达法则 * 例 解 求极限 2002年考研数学(三) 5分 * 证 例 证明函数 为单调增加函数. * 证 * 为单调增加函数. 故 * 证 令 为单调增加函数. 证明: 只有一个解. 例 所以原方程 只有一个解. 或 * 分析 求 必须先化掉 积分号, 只要对所给积分方程两边求导即可. 解 对所给积分方程两边关于x求导,得 需先求出 即 ] [ f ) 1 ( 2 x x + * 定理2（牛顿-莱布尼茨公式） 牛顿(英)1642―1727 莱布尼茨(德)1646―1716 如果 是连续函数 的一个原函数, 则 三、牛顿—莱布尼茨公式 * 证 都是f(x)在[a,b] 因为 上的原函数, 故有 C是待定常数, 即有 ) ( a F C - = * 牛顿(Newton)—莱布尼茨(Leibniz)公式 微积分基本公式 特别, * 微积分基本公式表明 注 求定积分问题转化为求原函数的问题. 一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量. 仍成立. * 例 原式 解 * 面积 例 解 平面图形的面积. 所围成的 * 例