第五章对称矩阵与二次型.ppt

Ch5、对称矩阵与二次型 §1、二次型及其标准形 定义1：二次齐次函数 称为二次型。 令 ，则 记 ，则 ， 故“二次型与一个对称矩阵一一对应”。 例如，二次型 的 矩阵 。 定义2： 称为二次型的标准形 (其矩阵为对角形)，其中的正 (负) 系数的个数称为二次型的正 (负) 惯性系数。 例5.1 将二次型 写成矩阵表示形式。 解：f的系数矩阵为 解：令 则线性变换记为 。 ，显然，当 为对角形时，f 即为标准形。故问题可转化为“对对称阵，求一可逆阵C，使 为对角形”。 将Ch4§4中定理11“若A对称，则必有正交阵P，使 即 为对角阵”应用于二次型，则有如下定理： 定理1：对于二次型 ，总有正交变换x=Py，将f 化为标准形 ，其中 为A的特征值。 参考题1、求正交变换x=Py，将 化为标准形。 解：f 的矩阵为 时， ， 令 ，则 ， ， 。 时， , 令 , 则 ， ， 。 时， ， , 令 , 则 ， ， ，故所求正交变换为x=Py， 标准形为 。 §2、正定二次型与正定矩阵 定义3：若对任何 ，都有 ，则称 f 为正定(负定)二次型，并称矩阵A为正定(负定)的，记为A0(A0)。 定理2：n元二次型 正定 其标准形中的n个系数全为正，即 f 的正惯性系数为n f 的个特征值全为正。 定理3：(1)对称矩阵A正定( 正定) 的各阶主子式全为正，即 (2)对称矩阵A负定( 负定) 的奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正，即 参考题2、判定二次型 的正定性。 解：f 的矩阵为 。 故f 负定。 参考题3、k为何值时，二次型 正定。 解：f 的矩阵为 。 ，故k2时，f 正定。 定理4: 若A,B正定，则