第五章-广义逆矩阵要点讲解.doc

第五章 广义逆矩阵 广义逆矩阵是E. H. More于1920年首次提出的，1995年R. Penrose利用矩阵方程组给出它更为明确简便的定义。其后，广义逆矩阵在理论和应用方面都得到了迅速发展。它在微分积分方程、数理统计、最优化、测量学等应用科学中发挥了重要作用，更是研究最小二乘等问题不可缺少的工具。广义逆矩阵是矩阵论的一个重要分支。 第一节 广义逆矩阵的概念 对于线性方程组Ax=b，当方阵A可逆时，其有唯一解x=A-1b。但是，在许多实际应用中更多涉及到的是系数矩阵A是奇异方阵或长方阵的情形。这就从客观上要求人们去探索把通常逆矩阵进行推广的问题。 若A是可逆的，即有逆矩阵A－1，则A－1必满足下面四个等式 AA－1A=A A－1AA－1=A－1 (AA－1)H=AA－1 (A－1A)H=A－1A 若A是一个一般的矩阵，是否有矩阵X存在，满足 AXA=A （1） XAX=X （2） (AX)H=AX （3） (XA)H=XA （4） 这四个方程中的一个、二个、三个或全部呢？这就引出了广义逆矩阵的定义。 定义1 设A(Cm×n，如果X(Cn×m满足（1）—（4）式中的一个、二个、三个或全部，则称X为A的广义逆阵。 由上定义可知，广义逆阵有种之多。为了方便，引进一些记号：A(i)为满足第i个方程的广义逆矩阵，即第i个方程的解矩阵，A{i}为第i个方程的解集，即A（i）的全体。同样有记号A(i，j)，A(i，j，k)，A(1，2，3)，A{i，j}，A{i，j，k}，A{1，2，3，4}。 如，A(1，3)为满足第1、第3个方程的广义逆矩阵，A{1，3}为所有A(1，3)的全体构成的集合。 在这15种广义逆矩阵中，常用的有A{1}，A{1，3}，A{1，4}，A{1，2，3，4}。我们将结合线性方程组的解的不同情况，在本章后面各节中进行讨论。为此先了解一下线性方程组的解的问题。 根据线性方程组Ax=b是否有解，可把线性方程组分为两大类。第一类是有解方程组，又称相容方法组；第二类是无解方程组，又称不相容方程组或矛盾方程组。 对于第一类方程组，若A是列满秩的，则有惟一解；否则，有无穷多解。我们从中挑选出2－范数极小的解，即所谓的极小范数解 对于第二类方程组，其根本就没有解。但实际问题中经常要求出近似解 即最小二乘解；如果方程组的最小二乘解有无穷多个，我们也从中挑出2－范数极小的解，即极小范数最小二乘解 第二节 A－与相容线性方程组的通解 我们把广义逆矩阵A(1)记为A－，称为A的减号逆或g-逆，即 AA－A=A 例如，，都是的减号逆。 下面将证明任何矩阵的减号逆都是存在的。 定理1 设，并且存在，，使 则的充分必要条件是 （1） 其中G12、G21、G22是具有相应阶数的任意矩阵。 证明 充分性。直接验证便得。 必要性。设，则 两边同左乘以P－1，右乘以Q－1，得 若记 代入上式，有G11=Er，从而 这里的G12，G21，G22是具有相应阶数的任意矩阵，故有 定理1不但表明矩阵的减号逆总是存在的，通常也是不惟一的，而且还给出了计算减号逆的方法。 例 设 求A－ 解 经过初等变换可得 ， 故 其中t1、t2是任意数。 定理2 设，，则的充分必要条件是 （2） 其中V、W是具有相应阶数的任意矩阵。 证明 充分性。由 知。 必要性。设，令V=G－A－，W=VA A－，并注意到 有 定理于此证毕。 （1）式和（2）式以后都称为矩阵A的减号逆的一般表达式。 减号逆有下面一些基本性质： 性质1 性质2 ， 即、分别是A、AH的减号逆。 证明 因为 并考虑到对任意矩阵B，如果BHB=O，那么B=O，有 A(AHA)－