固体物理-王雪华课件L20_21-外场中的运动3.ppt

§5.4 在恒定磁场中电子的运动 求解含磁场的Schr?dinger方程 一、恒定磁场中的准经典运动 讨论晶体中电子在恒定磁场中运动的方法： 准经典近似：优点是简单且物理图象清晰，缺点是 有些量子效应无法从准经典近似中得出。 1. 在k空间中的运动图象 在k空间中电子的运动轨迹是垂直于磁场的平面与等能面的交线，即电子在垂直于磁场的等能线上运动。 在k空间中，电子作循环运动 （Lorentz力不做功） 电子的能量E(k)不随时间而变，即电子在等能面上运动 Kz保持不变，电子在kx-ky平面内作匀速园周运动，回旋频率为 若选电子B沿Z方向，则 等能线为园 2. 在实空间中的运动图象 在实空间中，电子的运动轨迹为一螺旋线。 如设磁场沿z 轴方向，有 在实空间中电子的运动图象：沿磁场方向（z方向），电子作匀速运动，在垂直于磁场的平面内，电子作匀速圆周运动。 若磁场方向取在z轴方向，B＝Bk，即可写出其相应的准经典运动方程。 二、自由电子的量子理论 由于哈密顿算符中不含x和z， ??H和px、pz有共同本征态 设ψ为其共同本征态，有 这是中心位置在y=y0，振动圆频率为?0的线性谐振子 解为 Nn为归一化因子，Hn(y)为厄密多项式 根据量子理论，在垂直于磁场平面内的匀速圆周运动对应于一种简谐振动，其能量是量子化的，我们将这些量子化的能级称为朗道能级。 三、晶体中电子的有效质量近似 其中，U(r)为 晶体的周期性势场 在有效质量近似的框架内，前面我们对自由电子的讨论可以推广到晶体中的电子，只需用电子的有效质量m*代替自由电子的质量m即可。 一般半导体材料中，在导带底和价带顶附近常常可以采用有效质量近似。对有些金属材料（如碱金属）有时也可以采用。 在有些情况下，可将哈密顿量近似写成 —— 有效质量近似 四、电子回旋共振和De Haas－Van Alphen效应 1. 电子回旋共振 将一晶片垂直置于磁场中，若沿磁场方向输入一频率为?的交变电场，且E?B。 当???0时，电子回旋与电场同步，电子吸收电场能量达到极大，这种现象称为电子回旋共振。 从量子理论的观点，电子吸收了电场的能量，相当于实现了电子在朗道能级间的跃迁。测量回旋共振的频率?0 ，即可算出电子（或空穴）的有效质量m*。 电子回旋共振不仅可以测量载流子的有效质量m* ，还可以根据出射波的偏振方向来判断电场的能量是被电子还是被空穴吸收的。 电子回旋共振被广泛地用来测定半导体导带底电子或价带顶空穴的有效质量，研究其能带结构。 在半导体的导带底或价带顶附近，其等能面一般为椭球面。 回忆有效质量 张量的定义 在主轴坐标系座标系中 当发生电子回旋共振时， 这里，m*为电子回旋共振的有效质量，与外加磁场的方向有关。 E1g E2g 导带底 价带顶 其中，?、?、?为磁场在主轴坐标系中的方向余弦。 由于电子在运动过程中会受到声子、晶格缺陷以及杂质的散射，因此，为了能观察到回旋共振现象，必须满足?0?1，其中?是电子在相邻两次碰撞间的平均自由时间。 通常，实验都必须在极低温度（液He温度）下，选用高纯的单晶样品，以提高?值，同时加强磁场以提高?0 。近年来，利用红外激光为交变讯号源，可以观测到非常清晰的共振线。 2. De Haas－Van Alphen效应 1930年德·哈斯和范·阿尔芬在低温 下强磁场中研究铋单晶的磁化率， 发现了磁化率?随磁场的倒数1/B作 周期振荡的现象，称为De Haas－ Van Alphen效应。 De Haas－Van Alphen效应是一个广泛存在的物理现象 这种现象与金属费米面附近的电子在强磁场中的行为有关，因而与金属的费米面结构有密切关系，这些现象是研究金属费米面结构的有力工具。通过测定De Haas－Van Alphen效应的振荡周期，确定极值的面积，就可以相当准确地勾画出费米面的形状。 金属的导电率、比热等物理量在低温强磁场中也有类似的振荡现象。 上式说明，沿磁场B的方向(z方向)电子保持自由运动，相应的动能为(h2kz2/2m)，在垂直于磁场的x-y平面上，电子运动是量子化的，从准连续的能量[h2(kx2+ky2)/2m]变成 (n+1/2)h?0。 电子的能谱由准连续的能谱变成一维的次能带，每一个次能带是一条抛物线，次能带的能量极小值是(n+1/2)h?0 。 在没有外磁场时，状态的代表点在kx-ky平面上是均匀分布的，每个代表点占据的面积为[(2?)2/LxLy]；在有外磁场时，能量等于(n+1/2)h?0的振子，高度简并。