固体物理-王雪华课件L13-能带论1.ppt

第四章 能带理论 电子在运动过程中并不像自由电子那样完全不受任 何力的作用，电子在运动过程中受到晶格中原子势 场的作用。 能带论的基本出发点: 固体中的电子不再是完全被束缚在某个原子周围， 而是可以在整个固体中运动，称为共有化电子。 Born－Oppenheimer绝热近似：所有原子核都周期性 地静止排列在其格点位置上，因而忽略了电子与声子 的碰撞。 能带论是单电子近似的理论。用这种方法求出的电子能量状态将不再是分立的能级，而是由能量的允许带和禁止带相间组成的能带结构，所以这种理论称为能带论。 能带论的两个基本假设： Hatree－Fock平均场近似：忽略电子与电子间的相互 作用，用平均场代替电子与电子间的相互作用。 晶体能带的定性物理图象 晶体具有大量分子、原子或离子有规则排列的点阵结构。 共有化电子电子受到周期性势场的作用。 按量子力学须解定态薛定格方程。 定态薛定格方程给出能带 (energy band) 晶体中的电子能级 有什么特点？ 量子力学计算表明，晶体中若有N个原子，由于各原子间的相互作用，对应于原来孤立原子的每一个能级,在晶体中辟列成了N条靠得很近的能级,称为能带。 能级劈裂带？ 能带的宽度记作?E ，数量级为 ?E～eV。 若N~1023,则能带中两能级的间距约10-23eV。 一般规律： 1. 越是外层电子，能带越宽，?E越大。 2. 点阵间距越小，能带越宽，?E越大。 3. 两个能带有可能重叠。 §4.1 周期场与Bloch定理 一、周期场模型 考虑一理想完整晶体，所有的原子实都周期性地静止排列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其自身外其他电子的平均势场和原子实的周期场中运动，这样的模型称为周期场模型。 二、Bloch定理（1928年） 在周期场中，描述电子运动的Schr?dinger方程为 为周期性势场， 为格矢 这里，uk(r) = uk(r+Rl) 是以格矢Rl为周期的周期函数。 —— Bloch函数 证明：定义一个平移算符T?，使得对于任意函数f(r)有 因为f(r)是任意函数，所以，T?T?－ T? T?=0，即T?和T?可对易。 因为f(r)是任意函数，所以，T?与H也可对易。 设N?是晶体沿基矢a?（?＝1，2，3）方向的原胞数， （设为非简并） T?和H有共同本征态 设?(r)为T?和H的共同本征态 ??：平移算符T?的本征值。 引入周期性边界条件： 晶体的总原胞数：N＝N1N2N3 周期性边界条件： --Bloch定理 这表明uk(r)是以格矢Rl为周期的周期函数。 证毕 二、几点讨论 1. 关于布里渊区 波矢量k是对应于平移算符本征值的量子数，其物理意义表示不同原胞间电子波函数的位相变化。 不同的波矢量k表示原胞间的位相差不同，即描述晶体中电子不同的运动状态。 如果两个波矢量k和k’相差一个倒格矢Gn，这两个波矢所对应的平移算符本征值相同。 与讨论晶格振动的情况相似，通常将k取在由各个倒格矢的垂直平分面所围成的包含原点在内的最小封闭体积，即简约区或第一布里渊区中。 简约波矢：k限制在简约区中取值 广延波矢：k在整个k空间中取值 2. Bloch函数的性质 晶体中电子： 在晶体中运动电子的波函数介于自由电子与孤立原子之间，是两者的组合。 电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时，原子之间存在相互作用的结果，而并不取决于原子聚集在一起是晶态还是非晶态，即原子的排列是否具有平移对称性并不是形成能带的必要条件。 需要指出的是，在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的。但是，周期性势场并不是电子具有能带结构的必要条件，在非晶固体中，电子同样有能带结构。 §4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似 一、近自由电子模型 在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能比其势能的绝对值大得多，这样，电子的运动几乎是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰。 二、运动方程与微扰计算 a：晶格常数 —— 势能平均值 根据近自由电子模型，Un为微小量。 电子势能为实数， U*(x)=U(x) 1. 非简并微扰 —— 零级近似 —— 微扰项 分别对电子能量E(k)和波函数?(k)展开 将以上各展开式代入Schr?dinger方程中，得 相应归一化波函数： k’ = k k’ ? k 由于一级微扰能量Ek(1)＝0，所以还需用二级微扰方程来求出二级微扰能量，方法同上。 二级微扰能量： 电子的能量： 电子波函数： 其中 波函数由两部分组成：