固体物理-王雪华课件L15-能带论3.ppt

讨论题： （1）如图U0=3ev, c=50(nm),b=20(nm), 画出克朗尼格-朋奈模型精确解的最低5个能带图； （2）用平面波展开法得出上述克朗尼格-朋奈模型的最低5个能带图。 在 0 x a 一个周期的区域中，电子的势能为 § 4.3 克朗尼格-朋奈模型 周期性方势阱 1区 3区 2区 定态薛定谔方程为： 1区 2区 3区 边界条件：波函数和它的一阶导数在x=c,和a处连续 1区 2区 3区 进行一些推导和必要简化，最后可以得出下式 式中 上式就是电子的能量 E 应满足的方程,也是电子能量 E与波矢 k 之间的关系式。 由图看出，在允许取的 E值之间，有一些不允许取 的 E值，称为能隙。 §4.4 平面波展开法 定态薛定谔方程为： 倒格子的起源：晶格的傅里叶变换 回顾：§1.4 倒格子 定态薛定谔方程为： Photonic Crystals: Periodic Dielectric Structures Living Photonic Crystals The Sea Mouse at south Australia beech Fabricated Photonic Crystals 1D 2D 3D 平面波展开法在光子晶体中的应用 Photonic Chips: All-optical integrated circuits 一个伟大的梦想—光子芯片 Basic Components: Cavities Waveguides Fibers Sources Switchs 平面波展开法在光子晶体中的应用 (1) For 3D Photonic Crystals: Expanding H(r) and (r) Inserting Eqs. (11) and (12) into Eq. (7), one can obtains 平面波展开法在光子晶体中的应用 (2) For 2D Photonic Crystals: Eq. (12) is reduced as two independent equations: 平面波展开法在光子晶体中的应用 Large absolute PBG by rotating non-circular rods in 2D PCs [PRB. 60, 11417 (1999) by Wang et al.] 平面波展开法在光子晶体中的应用 §4.5 紧束缚近似（TBA） 当晶体中原子的间距较大，原子实对电子有相当强的 束缚作用。当电子距某个原子实较近时，电子的运动 主要受该原子势场的影响，这时电子的行为与孤立原 子中电子的行为相似。这时，可将孤立原子看成零级 近似，将其他原子势场的影响看成小的微扰。此方法 称为紧束缚近似 (Tight Binding Approximation)。 近自由电子近似认为原子实对电子的作用很弱，电 子的运动基本上是自由的。其结果主要适用于金属 的价电子。 紧束缚近似方法的一个突出优点是它可以把晶体中电子的能带结构与构成这种晶体的原子在孤立状态下的电子能级联系起来。 一、模型与微扰计算 V(r－Rl)：Rl格点的原子势场 ?j(r-Rl)： 原子波函数 第l个孤立原子的波动方程： V(r－Rl)：Rl格点的原子势场，?j：某原子能级（非简并） ?j(r-Rl)： 原子波函数 在晶体中，电子运动的波动方程为： 在晶体中电子运动的波动方程可变为： 紧束缚近似是把原子间的相互影响当作微扰的简并微扰法。微扰后的状态是由这N个简并态的线性组合组成，即用原子轨道的线性组合来构成晶体中电子共有化运动的轨道。这种方法也称为原子轨道的线性组合法，简称LCAO（Linear Combination of Atomic Orbitals）。 代入晶体中电子的波动方程，并利用原子波动方程得 在紧束缚近似中，原子间距较大，因此可以认为不同格点的原子波函数?j重叠很少，可以近似看成正交。 以?j*(r-Rn)同时左乘方程两边，再积分 令?＝r－Rl ，并根据U(r) ＝U(r＋ Rl) ，积分可化为 这是关于未知数an (n = 1, 2, … , N)的线性齐次方程组。 代入方程组得 上式确定了这种形式解所对应的能量本征值。 方程组的解： C：归一化因子 对于一个确定的k，电子运动的波函数为 容易验证?k(r)为Bloch函数 相应的能量本征值为 考虑周期性