《2016届高考数学一轮必备考情分析学案：3.3《导数的应用》2》.pdf

Go the distance 3.3 导数的应用( 二) 考情分析 高考中，重点考查利用导数研 究函数最值以解决生活中的优化问题，有时还会 在解析几何、不等式、平面向量等知识交汇处命题，多以解答题的形式出现，属 中、高档题目. 基础知识 1.函数的导数与最值 (1)函数y  f (x) 在区间 [a,b]上有最值的条件：一般地，如果在区间 [a,b]上， 函数y  f (x) 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2) 求函数y f (x) 在区间[a,b]上最大值与最小值的步骤： ①求函数 y  f (x) 在区间（a,b）内的极值； ②将函数 y  f (x) 的各个极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较，其中最大的一 个是最大值，最小的一个是最小值 2.生活中的优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 优化问题.导数在这一类问题中有着重要的应用，它是求函数最大（小）值的强 有力的工具 3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题 中变量之间的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数的导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和 f′(x)＝0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大 (小)值； (4)回归实际问题作答． 注意事项 1.(1)注意实际问题中函数定义域的确定． (2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义 判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较． 2.(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才 能下结论；另外注意函数最值是个 “整体”概念，而极值是个 “局部”概念． Go the distance (2)f′(x )＝0 是 y＝f(x)在 x＝x 取极值的既不充分也不必要条件． 0 0 如①y＝|x |在 x＝0 处取得极小值，但在 x＝0 处不可导； 3 3 ②f(x)＝x ，f′(0)＝0，但 x＝0 不是 f(x)＝x 的极值点． (3)若 y＝f(x)可导，则 f′(x )＝0 是 f(x)在 x＝x 处取极值的必要条件． 0 0 题型一 函数的极值与导数 【例 1】已知偶函数 f (x) 在 R 上的任一取值都有导数,[来源:学 §科 §网Z§X§X§K] 且 f (1) 1 , f (x 2)  f (x 2), 则曲线 y  f (x) 在x  5 处的切线的斜率 （ ） A ．2 B ．-2 C ．1 D ．-1 【答案】D 【解析】由 f (x  2) f (x 2), 得f (x  4) f (x ), 可知函数的周期为 4,又函数 f (x) 为偶函数,所以 f (x 2)  f (x 2)=f (2  x) ,即函数的对称轴为 x  2 ,所 f (5) f (3) f (1) ,所以函数在x 5 处的切线的斜率k  f (5)   f (1)  1 , 选 D ． 题型二 函数的最值与导数 【例 2 】已知函数 f (x)  ax3 bx2 在点(3, f (3)) 处的切线方程为12x 2 y 27  0 , 且对任意的x  0, ,f (x ) k ln(x 1) 恒成立.  (Ⅰ)求函数 f (x) 的解析式; k (Ⅱ)求实数