高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.1高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.1.ppt

数学与计算科学学院 问题的引入: 一、n元二次型 1、定义：设P为数域， 1） 约定①中aij=aji，ij ，由 xixj＝xjxi，有 二、非退化线性替换 2、线性替换的矩阵表示 三、矩阵的合同 练习 写出下列二次型的矩阵 答案 四、 小结 * * 第五章 二次型 §5.1 二次型的矩阵表示 §5.2 标准形 §5.3 唯一性 §5.4 正定二次型 章小结与习题 一、n元二次型 二、非退化线性替换 三、矩阵的合同 四、小结 §5.1 二次型的矩阵表示 解析几何中 选择适当角度θ,逆时针旋转坐标轴 (标准方程) 中心与坐标原点重合的有心二次曲线 代数观点下 作适当的非退化线性替换 只含平方项的多项式 二次齐次多项式 (标准形) 称为数域P上的一个n元二次型． ① n个文字 的二次齐次多项式 注意 2) 式① 也可写成 1) 为了计算和讨论的方便,式①中 　　 的系数 写成 　　 ② 2、二次型的矩阵表示 则矩阵A称为二次型 的矩阵. 于是有 注意: 2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即 正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具. 若 　且 　　　　，则 1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即 （这表明在选定文字　　　　　下，二次型 完全由对称矩阵A决定.) 例1　1）实数域R上的2元二次型 3）复数域C上的4元二次型 它们的矩阵分别是： 2） 实数域R上的3元二次型 1、定义： 是两组文字, ，关系式 ③ 称为由　　　　　　　　　　　的一个线性替换; 若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换. . 0 它是非退化的. ∵系数行列式 例2 解析几何中的坐标轴按逆时针方向旋转解角度　 即变换 则③可表示为X=CY　　　　　　　④ 若|C| ≠0，则④为非退化线性替换. 注 1）③或④为非退化的 为可逆矩阵 . 2）若X＝CY为非退化线性替换，则有非退化线性替换　　　　　. 即，B为对称矩阵. 3、二次型经过非退化线性替换仍为二次型 ———— ———— ———— ———— 事实上， 是一个 　　　　　 二次型. 1）合同具有 对称性： 传递性: 即C1C2可逆. 反身性: 注: 　1、定义：设 　，若存在可逆矩阵 使 ，则称A与B合同. 3）与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵. 2）合同矩阵具有相同的秩. 2、经过非退化线性替换，新二次型矩阵与 A与B合同. 二次型X′AX可经非退化线性替换化为二次型Y′BY 进而，有: C可逆 原二次型矩阵是合同的. 例2　证明：矩阵A与B合同，其中 一个排列. 证：作二次型 故矩阵A与B合同. 对　　　　　　　作非退化线性替换 则二次型化为（注意 　的系数为 　） 其中 - - 4. 解：