第二章矩阵和矩阵的初等变换.doc

第二章 矩阵和矩阵的初等变换 矩阵是线性代数的主要研究对象之一，它在数学和其他自然科学、工程技术和经济领域中都有着广泛的应用. 本章的中心议题为矩阵，围绕这个议题，先给出矩阵的定义、矩阵的运算和求方阵的逆、初等变换以及求矩阵的秩，最后介绍矩阵的分块运算. §2.1 矩阵的定义 矩阵的基本概念 定义1 由个数排成的行列的数表（常用括弧将数表括起） 称为行列矩阵，简称阶矩阵，其中叫做矩阵的元素，为行标，为列标，表明位于矩阵的第行第列. 为简单起见，记阶矩阵为或. 特别地，当时，则称矩阵为阶矩阵或阶方阵，记为. 对于矩阵，当时，有.称矩阵为行矩阵，或行向量. 为避免元素间的混淆，行矩阵也可写为. 当时，有.称矩阵为列矩阵，或列向量. 当时，有.这里把矩阵看成是数. 两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵.所有元素均为零的矩阵，称为零矩阵，记作. 注意不同型的零矩阵是不同的. 定义2 如果与是同型矩阵，且它们的对应元素均相等，即，则称矩阵与矩阵相等，记作. 下面举几个关于矩阵应用的例子. 例1 3个产地与4个销地之间的里程（单位：千米）可列为矩阵： . 其中为第产地到第销地的里程数. 4个城市间的单向航线如图1所示. 若令 则图1可用矩阵表示为 一般地，若干个点之间的单向通道都可用这样的矩阵表示. 例3 个变量与个变量之间的关系式 (1) 表示一个从变量到变量的线性变换，其中为常数.线性变换(1)的系数构成矩阵. 给定了线性变换(1)，它的系数所构成的矩阵(称为系数矩阵)也就确定.反之，如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定.在这个意义上，线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系. 二、几类特殊的矩阵 1）对角矩阵 阶方阵的元素称为的主对角元素. 例如，矩阵的主对角元素为3和1. 定义3 若阶方阵中的元素满足条件 则称为阶对角矩阵或对角阵，即 （此记法表示对角线以外未标明的元素均为0）.简记为. 例如， 为对角阵. 特别地，当，则称对角阵为阶数量矩阵.即 例如， 为数量矩阵. 又当时，称为阶单位矩阵或单位阵，记作，有时简记为，即 . 例如线性变换叫做恒等变换，它对应的系数矩阵就是一个阶单位矩阵. 2）三角形矩阵 定义4 若阶方阵中的元素满足条件 则称为阶上三角形矩阵或上三角矩阵，即 . 若阶方阵中的元素满足条件 则称为阶下三角形矩阵或下三角矩阵，即 . 例如，为上三角矩阵，为下三角矩阵. 3）对称矩阵 定义5 若阶方阵中的元素满足 则称为对称矩阵. 例如，为对称矩阵. 4）阶梯形矩阵 定义6 若矩阵满足： (i)若有零行(元素全为零的行)，全部在矩阵的下方； (ii)各非零行的第一个不为零的元素(称为首非零元)的列标随行标的增大而严格增大.则称矩阵为行阶梯形矩阵. 例如，矩阵为行阶梯形矩阵，而矩阵不是行阶梯形矩阵. 进一步，若行阶梯形矩阵满足： (i)行首非零元等于1； (ii)所有首非零元所在列的其余元素全为零.则称为行最简形矩阵. 上例行阶梯形矩阵对应的行最简形为，而矩阵不是行最简形矩阵. §2.1 矩阵的运算 矩阵的加法与数乘矩阵 定义1 两个阶矩阵和对应位置元素相加得到的矩阵，称为矩阵与的和，记作，即 . 注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算. 例1 两种物资（单位：吨）同时从3个产地运往4个销地，其调运方案分别为矩阵和矩阵： ，. 则从各产地运往各销地的物资总调运量（单位：吨）为 定义2 以数乘阶矩阵的每一个元素得到的矩阵，称为数与矩阵的积，记作，即 若取，则有