第一章第二讲矩阵及矩阵初等变换2.doc

第二讲 矩阵及初等变换（4节） 在上一讲中，我们简单介绍了n元线性方程组的求解过程是如何用数表的形式来表达的思想，这种既能简化求解方程组的过程又使得求解形式简单明了的数表，我们称之为矩阵。 矩阵是线性代数中重要的概念之一，它的理论与方法在数学、经济、工程技术等方面都有较广泛的应用。著名的列昂节夫投入—产出模型就是利用矩阵这一数学工具建立起来的。因此掌握矩阵这一数学工具是非常必要的。 本讲的主要内容就是给出矩阵的概念及运算性质，为下一步更好地利用矩阵理论与方法讨论线性方程组提供有力的理论支撑。 1.2.1矩阵的概念定义2.1 由个数；）排成了行列的矩形数表 称为行列矩阵，记作。 其中是矩阵的第行第j列元素常用大写字母… ...表示，或=，=… … 等与列数可以不相等，行列相同的矩阵称为方阵. 例如 2行3列矩阵 ， 2行2列矩阵 。 例2.1例：给个具体的矩阵表示实例 1.2.2矩阵的运算 矩阵加、减、数乘基本运算我们先矩阵的基本的运算.定义2.2 若矩阵对应元素相等= 则称矩阵与相等，记作表示，要注意的是行列不同的零矩阵不相等。如 定义2.3设=，称为矩阵与矩阵的和. 记. 记，－矩阵的负矩阵.== 注：定义2.2和定义2.3的条件是要求两矩阵的行和列要相同。我们把2个同行同列的矩阵叫作同型矩阵。 例2.2 设，求. 解 由题意是2行2列矩阵，可令=，则 ==. 称为二阶单位矩阵，记.相应有三阶单位阵以及阶单位矩阵等。 定义2.4 数与矩阵的乘积记作，规定＝.与矩阵A乘积等于用乘以A的每一个元素。换句话说，当A中每一个元素都有相同公因子时，才能把提出A外。 例如 定义2.5　设，那么与的乘积为，即= 其中行元素与右边矩阵B的第列元素对应相乘再相加后，得C中元素. 例2.　家电公司两分厂20年第季度空调、电视机、冰箱的产量矩阵已表示为现设空调、电视机、冰箱每台的销售价分别为；每台的利润分别为.若记单位售价和单位利润的矩阵为，则.如设两厂的该季度的总销售价分别为；总利润分别为.若记总销售价和总利润的矩阵为，则其中；； ；. 按产量单价总价间的关系为的乘积也是自然的.例2.　设.求.解:= = = 显然不是任意2个矩阵都能相乘。只有的列数等于的行数AB才有意义.本例中B有2列，A有3行，所以无意义.存在时，未必存在，存在，也不一定有，即矩阵乘法不交换律.，称可交换。 例2.5 设，求所有与可交换的矩阵. 　解：因为=，所有应为矩阵.设＝＝=＝由定义2.2有 　 解方程组，取（为任意常数）.于是，所有与可交换的矩阵为（为任意常数）.结合律：； （2）分配律：，；，线性方程组　　 ... ... (2.1) 解 令 ，，，则有 =成立. 即方程组(2.1)可表示为.称矩阵方程是方程组的系数矩阵，=是方程组的增广矩阵。 例如，方程组=，增广矩阵=，方程组的矩阵方程.其中 . 定义　是阶方阵，定义,，，...，其中为正整数.即的次幂。 不难看出的次幂具有如下的性质　方阵才有幂，. 思考：一般，为什么？例2.　设，求. 解　 . 设有n次多项式及n阶方阵A，令 ... ... (2.2) 称(2.2)为矩阵多项式。 例2.　设，求. 解　 .，故 ＝＝. 定义2.把矩阵得到矩阵，叫做的转置矩阵，记作=，称为对称矩阵。 注：若A是行列的矩阵，那么就是行列矩阵 例如矩阵 , 有,因而是对称矩阵. 转置矩阵具有如下的运算规律：; （2） （3）; （4） 推广: 证明)　，显然与同型的第行j列元素等于AB的第j行列元素 ...... (2.3) (2.3)式恰好是中第行与中第j列对应元素乘积之和，即是中第行j列元素. 例2.已知，求. 先求，再求. = = = 法2：可先求，然后再求 ， == 例2.　设为n阶方阵，证明及都是对称阵. 证明 故是n阶对称方阵.同理可证是阶对称方阵. 两个对称方阵的乘积未必是对称方阵.=非对称矩阵. 例2.列矩阵满足，为n阶单位，证明是对称矩阵，且.证,所以是对称矩阵 最后我们要强调的是：（1）矩阵中存在但的情形，故由不能得出或；若，而，也不能得出 （2）矩阵乘法消去律不成立例，，有且但.矩阵的初等变换定义2.　下面三种变换称为矩阵的初等行变换： 1对调两行（对调两行，记作）； 2以数乘以一行中的所有元素（第行乘，记作）； 3把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去（第j行的倍加到第行，记作）. 定义中的“行”换成“列”，即矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成“c”，如交换两列）.“或“”连接，