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2024年中考数学复习-怎 样 解 图 形 的 平 移 问 题复习讲义.docx

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怎样解图形的平移问题复习讲义

解题方法

平移问题是指在同一个平面内,将一个图形(含点、线、面)整体按照某个方向移动一定的距离.平移由平移的方向和距离决定.平移前后图形的形状、大小不变.平移前后图形的对应点所连的线段相等且平行(或共线);平移前后图形的对应线段平行(或共线)且相等,对应角相等.

平移变换的技巧提炼:

(1)常见的构造平移的方式:

构造平行线——平移线段,构造平移三角形.

构造平行四边形或者等腰三角形——平移图形.

(2)几何图形平移时,一般先确定平移后的位置,过点构造平行线,再截取线段长度相等.

(3)常见平移图形为平行四边形.

(4)平面直角坐标系中图形的平移:

确定平移方向和距离.

平移图形的对应顶点,再依次连接即可.

(5)平移在图形面积、图形切割和拼凑中应用较为广泛.

(6)平移法在应用时有三种情况:

平移条件:把条件中的某条线段或角平移;

平移结论:把结论中的线段或角平移;

同时平移条件或结论:是把图形中条件或结论中的线段或角同时平移.

实例分析

如图4-2.1(a)所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,,D,E分别为CB,CA延长线上的点,BE

(1)若BD=AC,AE=CD,

(2)若AC=3BD,CD

分析

(1)如图4-2.1(b)所示,∠APE=45°.

(2)解法一:如图4.2.1(c)所示,将AE平移到DF,连接BF,EF.则四边形AEFD是平行四边形.

∴AD∥EF,AD=EF.

∵∠C=90°,

∴∠

∴∠C=∠BDF.

∴△

∵∠1+∠3=90°,

∴∠2+∠3=90°.

∴BF⊥AD.

∴BF⊥EF.

∴在Rt△BEF中,tan

∴∠APE=∠BEF=30°.

解法二:如图4-2.1(d)所示,将CA平移到DF,连接AF,BF,EF.则四边形ACDF是平行四边形.

∵∠C=90°,

∴四边形ACDF是矩形,∠AFD=∠CAF=90°,∠1+∠2=90°.

∵在Rt△AEF中,tan

在Rt△BDF中,tan

∴∠3=∠1=30°.

∴∠3+∠2=∠1+∠2=90°,即∠EFB=90°.

∴∠AFD=∠EFB.

又∵DF

∴△ADF∽△EBF.

∴∠4=∠5.

∵∠APE+∠4=∠3+∠5,

∴∠APE=∠3=30°.

典例精讲

例题1

阅读下面材料:

小伟遇到这样一个问题,如图4-2.2(a)所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1,试求以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形的面积.

小伟是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积即可.他先后尝试了翻折,旋转,平移的方法,发现通过平移可以解决这个问题.他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E,得到的△BDE即是以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形,如图4-2.2(b)所示.

参考小伟同学的思考问题的方法,解决下列问题:

如图4.2.2(c)所示,△ABC的三条中线分别为AD,BE,CF.

(1)在图4.2.2(c)中利用图形变换画出并指明以AD,BE,CF的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹);

(2)若△ABC的面积为1,则以AD,BE,CF的长度为三边长的三角形的面积等于.

思路提示

根据平移可得三角形全等,且由梯形的性质知△ADB与△ADC的面积相等,即△BDE的面积等于梯形ABCD的面积.

(1)分别过点F,C作BE,AD的平行线交于点P,得到的△CFP即是以AD,BE,CF的长度为三边长的一个三角形.

(2)由平移的性质可得对应线段平行且相等,对应角相等.结合图形知以AD,BE,CF的长度为三边长的三角形的面积等于△ABC的面积的34

例题2

阅读下面材料:

小明遇到这样一个问题:如图4-2.3(a)所示,在△ABC中,DE∥BC分别交AB于D,交AC于E.已知CD⊥BE,CD=3,BE=5,求BC+DE的值.

小明发现,过点E作EF∥DC,交BC延长线于点F,构造△BEF,经过推理和计算能够使问题得到解决,如图4-2.3(b)所示.

(

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