2024年中考数学复习-与 函 数 新 定 义 相 关 的 问 题复习讲义.docx

与函数新定义相关的问题复习讲义

解题方法

所谓“新定义型问题”，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有的知识和能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义型问题”成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在学习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力.

“新定义型问题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移.

实例分析

对某一个函数给出如下定义：若存在实数.M0,对于任意的函数值y，都满足-M≤y≤M，则称这个函数是有界函数.在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值.例如，图4-10-1中所示的函数是有界函数，其边界值是1.

(1)分别判断函数y=1xx0)和y=

(2)若函数y=-x+1(a≤x≤b,ba)|的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围.

(3)将函数y=x2-1≤x≤mm≥0

解析

本题考查叫作有界函数的新定义问题，首先需要理解边界值M的定义，然后根据具体的函数图像进行分析.

【解】1y

y=x+1(-4x≤2)是,边界值为3.

(2)∵y=-x+1是一个y随x增大而减小的一次函数,

当x=a时,y取得最大值为y=-a+1=2,a=-1;

当x=b时,y取得最小值为y=-b+1.

∵函数y=-x+1

∴

解得-1b≤3.

∴b的取值范围是-1b≤3.

(3)若m1,函数图像向下平移m个单位，x=0)时，函数的值小于-1,此时函数的边界t1

当x=-1时,y=1,y=

当x=0时,y

将函数y=x2-1≤x≤mm≥0的图像向下平移

解得，0≤m≤1

即0≤m≤14或

典例精讲

例题1

对于平面直角坐标系xOy中的点P(a，b)，若点.P的坐标为a+bkka+b(其中k为常数，且k≠0),则称点P

例如,P(1,4)的“2属派生点”为P1+4

(1)①点P(-1,-2)的“2属派生点”P的坐标为.

②若点P的“k属派生点”P的坐标为(3,3),请写出一个符合条件的点P的坐标.

(2)若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P点,且△OPP为等腰直角三角形,则k的值为.

(3)如图4-10-2所示,点Q的坐标为043,点A在函数y=-43x(x0)的图像上，且点A是点B的

思路点拨

“k属派生点”这个新定义是偏重于计算的一道新定义题目，要求用具体的数值代替题目中的α，b，另外第(3)问需要利用数形结合的思想，画出一次函数图像，利用点到直线的距离进行求解.

例题2

如图4-10-3(a)所示，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA?OB=OP2,我们就把∠APB

(1)如图4-10-3(b)所示,已知∠MON=90°,点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°.求证：∠APB是

(2)如图4-10-3(a)所示,已知∠MON=α(0°α90°),OP=2.若∠APB是∠MON的智慧角，连接AB

(3)如图4-10-3(c)所示,C是函数y=3xx0)图像上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A,B两点,且满足BC=2CA,请求出∠AOB的智慧角

思路点拨

(1)由角平分线求出∠AOP=∠BOP=12∠MON=45°,再证出∠OAP=∠OPB,证明△AOP∽△

(2)由∠APB是∠MON的智慧角,得出OAOP=OPOB,证出△AOP∽△POB,得出对应角相等,即∠OAP=∠OPB,即可得出∠APB=180°-12α;过点

(3)设点C(a,b),则ab=3,过点C作CH⊥OA于H,分两种情况:

①当点B在y轴正半轴上，点A在x轴的负半轴上时，BC=2CA不可能；当得A在x轴的正半轴上时；先求出CAAB=13,由平行线得出△ACH∽△ABO,得出比例式:CHOB-AHOA=CAAB