2024年中考数学复习-怎 样 解 图 形 的 旋 转 问 题复习讲义.docx

怎样解图形的旋转问题复习讲义

解题方法

1.模型一：共顶点旋转模型

(1)等腰三角形共顶点旋转(如图4-3.1所示)

(2)等边三角形共顶点旋转(如图4-3.2所示)

(3)等腰直角三角形共顶点旋转(如图4-3.3所示)

(4)正方形共顶点旋转(如图4-3.4所示)

以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化

而我们都知道，“全等三角形”是“相似三角形”的一种特殊情况，因此此模型进一步延伸，可引出相似三角形，也就是此模型的最一般的情况，也就是“通法”“共性”，下面也会给出几组连续变化的图形，注意仔细体会各种变化之间的区别与联系(如图4-3.5所示).

各部分阴影三角形相似的判定方法，均是：“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”,类比“SAS”.

2.模型二：对角互补旋转模型

(1)全等型-

已知:如图4-3.6所示,∠AOB=∠DCE=90°,OC平分.∠AOB,,D,E在OA,OB上

可证：△

(2)全等型-120°

已知:如图4-3.7所示,∠AOB=120°,∠DCE=60°,OC平分∠AOB,,D,E在OA,OB上,在OB

可证:△OCD≌△FCE

(3)全等型-任意角α

已知:如图4-3.8所示,∠AOB+∠DCE=180°,OC平分∠AOB,,D,E在OA,OB上,在OB上取点F,

可证:△OCD≌△FCE

3.模型三：角含半角旋转模型(如图4-3.9所示)

实例分析

如图4-3.10(a)所示,已知线段BC=2,点B关于直线AC的对称点是点D,点E为射线CA上一点,且ED=BD,连接DE,BE.

(1)依题意补全图4-3.10(a)所示,并证明:△BDE为等边三角形;

(2)若∠ACB=45°,点C关于直线BD的对称点为点F,连接FD,FB.将△CDE绕点D顺时针旋转α度(0°α360°)得到△CDE,点E的对应点为E,点C的对应点为点C.

①如图4-3.10(b)所示,当α=30°时,连接BC.证明:EF=BC;

②如图4-3.10(c)所示,点M为DC中点,点P为线段CE上的任意一点,试探究:在此旋转过程中，线段PM长度的取值范围?

分析

解:(1)补全图形,如图4-3.11(a)所示;

证明：由题意可知：射线CA垂直平分BD

∴EB=ED

又∵ED=BD

∴EB=ED=BD

∴△EBD是等边三角形

(2)①证明:如图4-3.11(b)所示,由题意可知∠BCD=90°,BC=DC又∵点C与点F关于BD对称

∴四边形BCDF为正方形,

∴∠FDC=90°,CD=FD

∵∠CDC=α=30°

∴∠FDC=60°

由(1)△BDE为等边三角形

∴∠EDB=∠FDC=60°,ED=BD

∴∠EDF=∠BDC

又∵△EDC是由△EDC旋转得到的

∴CD=CD=FD

∴△EDF≌△BDC(SAS)

∴EF=BC

②线段PM的取值范围是：2

设射线CA交BD于点O,

Ⅰ:如图4.3.11(c)所示.

当EC⊥DC

此时DP

∴

Ⅱ:如图4-3.11(d)

当点P与点.E重合,且P,D,M,C共线时,PM有最大值

此时DP

∴

∴线段PM的取值范围是：2

典例精讲

例题1

如图4-3.12所示,在.△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,DE‖BC,如图4-3.12(a),然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度,得到图4-3.12(b),然后将BD,CE分别延长至M,N,使

(1)若AB=

①在图4-3.12(b)中,BD与CE的数量关系是;

②在图4-3.12(c)中,猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠

(2)若AB=k?ACk1),按上述操作方法,得到图4-3.12(d),请继续探究:AM与AN的数量关系、

思路提示

(1)①，②小问可以根据题意和旋转的性质证全等.

(2)直接类比第(1)问中结果可知.AM

例题2

如图4-3