2024年中考数学复习-函数 交 点 及 交 点 个 数 问 题复习讲义.docx

函数交点及交点个数问题复习讲义

解题方法

函数交点个数问题主要是指一次函数、二次函数和反比例函数的交点个数，解决这类问题的主要方法是联立函数解析式进行计算.

1.解题步骤

直线y=mx+nm

联立y=mx+nm≠0与y=

(1)当此方程的.Δ0,

(2)当此方程的Δ=0,

(3)当此方程的Δ0,

2.具体分类

(1)二次函数与一次函数交点问题.

①平移一次函数图像，考虑其与抛物线的交点；

②联立解方程.

(2)二次函数图像沿直线翻折后与一次函数交点问题.

考虑翻折后的范围，确定好翻折后的图像.

(3)二次函数绕点旋转后与一次函数交点问题.

(4)二次函数与反比例函数交点问题.

实例分析

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx

(1)求抛物线的表达式及对称轴；

(2)设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图像G(包含A，B两点).若直线CD与图像G有公共点，结合函数图像，求点D纵坐标t的取值范围.

解析

根据题意可知本题求函数解析式较为简单，主要考查的是一次函数和二次函数交点个数问题，需要运用数形结合的数学思想进行解答，本题的易错点是临界位置的判断，所以要求画图时一定要精准.

【解】(1)∵抛物线.y=2x2+mx

代入得18+3m+n

∴抛物线的表达式为y

∴对称轴为x=1.

(2)如图4-6-1所示,由题意得,B(3,4),(C

二次函数y=2x2-4x

由图像可以看出D点坐标最小值即为--

最大值即BC的解析式y=43x

当x=1时,y

∴-4≤t

∴点D纵坐标t的取值范围为-

典例精讲

例题1

已知二次函数y=t+1x2+2

(1)求二次函数的解析式.

(2)若一次函数y=kx+6的图像与二次函数的图像都经过点A-3m,求m

(3)设二次函数的图像与x轴交于点B，C(点B在点C的左侧)，将二次函数的图像在点B，C间的部分(含点B和点C)向左平移n(n0)个单位后得到的图像记为G，同时将(2)中得到的直线y=kx+6向上平移n个单位.请结合图像回答：当平移后的直线与图像G有公共点时，n的取值范围.

思路点拨

本题的难点在第(3)问，是已知有交点求取值范围的题目，难度偏大，需要先画出图形，另外部分抛物线与一次函数交点个数不能直接联立计算，要根据图像确定.

例题2

在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2+m-3x-3m0)的图像与x轴交于A，B两点(

(1)求点A的坐标.

(2)当∠ABC=45°时,求m的值.

(3)已知一次函数y=kx+b,点P(n,0)是x轴上的一个动点,在(2)的条件下,过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图像于点M，交二次函数.y=mx2+m-3x-3m0)

思路点拨

(1)求与x轴交点坐标直接用求根公式求解即可求出点A的坐标为(-1，0).(2)数形结合即可算出m的值，但是要注意坐标转化为线段长度时候的正负问题.(3)属于给出临界位置再求取值的问题，一般给出临界位置要用临界位置进行分析.

针对训练

1.如图4-6-2所示,等腰直角三角形ABC位于第一象限,AB=AC=2,，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴和y轴，若双曲线y=kxk≠0与

A.1k2B.1≤k≤3

C.1≤k≤4D.1≤k4

2.已知抛物线y

(1)若a=b=1,c=-1,求该抛物线与x轴的交点坐标.

(2)若a=13,

3.如图4-6-3所示，正比例函数y=kx和反比例函数y=mx的图像都经过点A(3，3)，将直线y=kx向下平移后得直线l，设直线l与反比例函数的图像的一个分支交于点B(6

(1)求n的值.

(2)求直线l的解析式.

4.已知二次函数y

(1)请求出该函数图像的对称轴.

(2)在坐标系内作出该函数的图像.

(3)有一条直线过点P(1，5)，若该直线与二次函数y=-x

5.已知关于x的一元二次方程x2-2k

(1)求k的取值范围.

(2)当k取最小的整数时，求抛物线y=x2-2k

(3)将(2)中求的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新图