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目录 上页 下页 返回 结束 高等数学 第六章 山东交通学院高等数学教研室 6.6 二阶常系数非齐次线性微分方程 2. 型 1. 二阶非齐次线性方程解的结构 齐次方程的通解Y 复习: 通解: 非齐次方程的一个特解 1. 二阶非齐次线性微分方程解的结构 一阶非齐次线性微分方程 是二阶非齐次线性方程 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 定理6.6.1 则 是该非齐次线性方程的通解 . 例如, 有特解 对应齐次方程 的通解 因此该非齐次方程的通解为 二阶常系数非齐次线性微分方程 : 根据解的结构定理 , 非齐次方程的一个特解 齐次方程通解 求特解的方法 根据 f (x) 的形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . — 待定系数法 其通解为 2. ? 为实数 , 设特解为 其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 为 m 次多项式 . 若 ? 不是特征方程的根, (1) 则 Q (x) 为 m 次待定系数多项式 从而得到特解 形式为 2. 已知: ? 为实数, 设特解为 其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 为 m 次多项式 . 若 ? 不是特征方程的根, 则 (1) 齐次方程: 特征方程: Q (x) 为 m 次多项式, 从而得到特解形式 设为 为 (2) 若? 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 ? 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式, 故特解形式为 结论: 若方程 即 即 当? 不是根时 则可设特解为 当? 是单根时 当? 是重根时 P222 例1 的一个特解. 解: 特征方程: 不是特征方程的根 ∴ 设所求特解为 代入原方程得 则设特解为 若方程 当? 不是特征方程的根时 当? 是特征方程的单根时 当? 是特征方程的重根时 其中 为 m 次待定多项式, 比较系数得 于是所求特解为 例2 的通解. 解: 特征方程： 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程的特解为 比较系数, 得 因此特解为 代入方程得 故原方程通解为 例3 的一个特解. 解: 特征方程: 是特征方程的单根 ∴ 设所求特解为 代入原方程 ,得 比较系数得 于是所求特解为 定理6.6.2 分别是二阶非齐次线性方程 的特解, 是方程 的特解. 推论: 是非齐次线性方程 的两个特解, 设 则 就是齐次方程 的特解. 与 已知 是某二阶非齐次线 性方程的三个解, 例4 解: 都是对应齐次方程的解, 且 则该方程的通解为 常数, 因而线性无关 故对应齐次方程的通解为 从而非齐次方程的通解为 例4 的一个特解. 求方程 特征方程为 特征根 解: 令 设一个特解为 代入方程解得 令 设一个特解为 代入方程解得 故 故 因此原方程的一个特解为