二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题讲解.ppt

§12.9 二阶常系数非齐次线性微分方程 一、 f(x)?Pm(x)e?x 型 二、f(x)=elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一、 f(x)?Pm(x)e?x型 二、f(x)=elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型 上页 下页 铃 结束 返回 首页 方程y???py??qy?f(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程? 其中p、q是常数? 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y?Y(x)与非齐次方程本身的一个特解y?y*(x)之和? y?Y(x)?y*(x)? 提示? =[Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)]e?x? ?[Q??(x)+2?Q?(x)+?2Q(x)]e?x+p[Q?(x)+?Q(x)]e?x+qQ(x)e?x y*?Q(x)e?x? 设方程y???py??qy?Pm(x)e?x 特解形式为 下页 Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)? ——(＊) 则得 ?[Q(x)e?x]???[Q(x)e?x]??q[Q(x)e?x] y*???py*??qy* 提示? 此时?2?p??q?0? 要使(＊)式成立? Q(x)应设为m次多项式? Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm? (1)如果?不是特征方程r2?pr?q?0的根? 则 y*?Qm(x)e?x? 下页 一、 f(x)?Pm(x)e?x 型 y*?Q(x)e?x? 设方程y???py??qy?Pm(x)e?x 特解形式为 Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)? ——(＊) 则得 提示? 此时?2?p??q?0? 但2??p?0? 要使(＊)式成立? Q(x)应设为m?1次多项式? Q(x)?xQm(x)? 其中Qm(x)?b0xm ?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm? (2)如果?是特征方程r2?pr?q?0的单根, 则 y*?xQm(x)e?x? 下页 (1)如果?不是特征方程r2?pr?q?0的根? 则 y*?Qm(x)e?x? 一、 f(x)?Pm(x)e?x 型 y*?Q(x)e?x? 设方程y???py??qy?Pm(x)e?x 特解形式为 Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)? ——(＊) 则得 提示: 此时?2?p??q?0? 2??p?0? 要使(＊)式成立? Q(x)应设为m?2次多项式? Q(x)?x2Qm(x)? 其中Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm? (3)如果?是特征方程r2?pr?q?0的重根, 则 y*?x2Qm(x)e?x? 下页 (2)如果?是特征方程r2?pr?q?0的单根, 则 y*?xQm(x)e?x? (1)如果?不是特征方程r2?pr?q?0的根? 则 y*?Qm(x)e?x? 一、 f(x)?Pm(x)e?x 型 y*?Q(x)e?x? 设方程y???py??qy?Pm(x)e?x 特解形式为 Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)? ——(＊) 则得 结论 二阶常系数非齐次线性微分方程 y???py??qy?Pm(x)e?x 有形如 y*?xkQm(x)e?x 的特解? 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式? 而k按?不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2? 下页 提示? 因为f(x)?Pm(x)e?x?3x?1? ??0不是特征方程的根? 所以非齐次方程的特解应设为 y*?b0x?b1? 把它代入所给方程? 得 例1 求微分方程y???2y??3y?3x?1的一个特解? 解 齐次方程y???2y??3y?0的特征方程为r2?2r?3?0? [b0x?b1]???2[b0x?b1]??3[b0x?b1] ??3b0x?2b0?3b1? ??2b0?3b0x?3b1 ?3b0x