§12-9二阶常系数齐次线性微分方程.ppt

微分方程 一 定义 第八节 二阶常系数齐次线性微分方程 二 二阶常系数齐次线性方程解法 三 n阶常系数齐次线性方程解法 四 小结 n阶常系数线性微分方程的标准形式 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 n阶常系数线性微分方程的标准形式 一、定义 将其代入上述方程, 得 特征根 故有 称为特征方程 二、二阶常系数齐次线性方程解法 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 （1）方程有两个不相等的实根 特征根为 （2）方程有两个相等的实根 得齐次方程的通解为 一特解为 特征根为 （3）有一对共轭复根 重新组合 得齐次方程的通解为 特征根为 定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法. 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例1 解 例2 方程的通解为： 解得 特征方程 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例3 特征方程为 特征方程的根 通解中的对应项 三、n阶常系数齐次线性方程解法 注意 n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各含有一个任意常数. 特征根为 故所求通解为 解 特征方程为 例4 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. (见下表) 四、小结 * * * *