第四节二阶常系数齐次线性微分方程.ppt
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第四节二阶常系数齐次线性微分方程第一页,共十六页,2022年,8月28日
第四节 二阶常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程的概念及其性质二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程 第二页,共十六页,2022年,8月28日
证明解的线性组合对于二阶常系数齐次线性微分方程, 具有下面的性质 第三页,共十六页,2022年,8月28日
证毕问题:例如第四页,共十六页,2022年,8月28日
例如线性无关例如第五页,共十六页,2022年,8月28日
将其代入上方程, 得故有特征方程特征根(p,q为常数)是方程的解.二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法第六页,共十六页,2022年,8月28日
(1) 有两个不相等的实根两个线性无关的特解:得齐次方程的通解为设特征根为如特征方程为第七页,共十六页,2022年,8月28日
(2) 有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为如特征方程为第八页,共十六页,2022年,8月28日
(3) 有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为设特征根为如特征方程为第九页,共十六页,2022年,8月28日
定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.总之第十页,共十六页,2022年,8月28日
解特征方程为解得故所求通解为解特征方程为解得故所求通解为(C1,C2为任意常数).第十一页,共十六页,2022年,8月28日
解特征方程为解得故所求通解为第十二页,共十六页,2022年,8月28日
解特征方程为解得方程的通解为 于是 对其求导得 所求特解为 第十三页,共十六页,2022年,8月28日
图6.1解由题意可得微分方程其特征方程为特征根为第十四页,共十六页,2022年,8月28日
所以方程的通解为若令则通解为第十五页,共十六页,2022年,8月28日
四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:(1)写出相应的特征方程;(2)求出特征根;(3)根据特征根的不同情况,得到相应的通解. 作业:P172 练习题6.4 1, 2第十六页,共十六页,2022年,8月28日
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