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空气动力学方程：连续性方程在CFD中的数值解法

1空气动力学基础

1.1流体动力学概述

流体动力学是研究流体（液体和气体）在静止和运动状态下的行为及其与

固体边界相互作用的学科。在空气动力学中，我们特别关注气体的流动，尤其

是空气。流体动力学的基础方程是纳维-斯托克斯方程，它描述了流体的运动规

律。然而，对于大多数工程应用，我们首先需要理解的是连续性方程，它确保

了流体在流动过程中质量守恒。

1.2连续性方程的物理意义

连续性方程基于质量守恒原理，即在一个封闭系统中，流体的质量不会凭

空产生或消失，只能从一个地方转移到另一个地方。在流体动力学中，这意味

着通过任意控制体的流体质量流量必须保持恒定。如果流体是不可压缩的，连

续性方程简化为流体在任何点的速度矢量的散度为零。

1.2.1数学表达

对于不可压缩流体，连续性方程可以表示为：

∇⋅=0

∇⋅

其中，是流体的速度矢量，是散度算子。在笛卡尔坐标系中，该方程

可以展开为：

∂∂∂

++=0

∂∂∂

对于可压缩流体，连续性方程则涉及流体密度，表示为：

∂

+∇⋅=0

∂

1.2.2数值解法在CFD中的应用

计算流体动力学（CFD）使用数值方法来求解流体动力学方程，包括连续性

方程。在CFD中，流体被离散化为网格上的点或单元，连续性方程在每个网格

点上被数值化，形成一组离散方程。这些方程通常通过迭代方法求解，如

SIMPLE算法或压力修正方法。

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SIMPLE算法示例

SIMPLE（Semi-ImplicitMethodforPressure-LinkedEquations）算法是一种广

泛使用的压力-速度耦合算法，用于求解不可压缩流体的连续性方程和动量方程。

下面是一个使用Python和NumPy库实现的SIMPLE算法的简化版本示例：

importnumpyasnp

#定义网格参数

nx,ny=100,100

dx,dy=1.0/nx,1.0/ny

u=np.zeros((ny,nx))

v=np.zeros((ny,nx))

p=np.zeros((ny,nx))

p_star=np.zeros((ny,nx))

u_star=np.zeros((ny,nx))

v_star=np.zeros((ny,nx))

#定义迭代参数

max_iter=1000

tolerance=1e-6

#迭代求解

foriterinrange(max_iter):

#动量方程求解u_star和v_star

#这里省略动量方程的求解步骤，假设已经得到u_star和v_star

#连续性方程求解p_star

foriinrange(1,nx):

forjinrange(1,ny):

p_star[j,i]=p[j,i]+(dx*dy)/(u_star[j,i]+v_star[j,i])*(

u_star[j,i]-u_star[j,i-1]+v_star[j,i]-v_star[j-1,i]

)

#更新速度场

foriinrange(1,nx):

forjinrange(1,ny):

u[j,i]=u_star[j,i]-dx/(u_star[j,i]+v_star[j,i])*(p_star[j,i]-p_star[j,i-1