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空气动力学方程：动量方程的数值解法教程

1空气动力学方程：动量方程的物理意义与数学表达

1.1基础概念

1.1.1动量方程的物理意义

动量方程是流体力学中的一个核心方程，它描述了流体在运动过程中动量

守恒的原理。在空气动力学中，动量方程特别重要，因为它帮助我们理解空气

如何在物体周围流动，以及这种流动如何产生力，比如升力和阻力。动量方程

基于牛顿第二定律，即力等于质量乘以加速度，但在流体中，这个定律被扩展

为考虑流体的连续性和可压缩性。

物理意义详解

动量方程考虑了流体的动量变化，这种变化可以由以下因素引起：-外力，

如重力和压力梯度力。-内力，如粘性力和惯性力。-流体的连续性，即流体在

空间中的分布和流动速度的变化。

动量方程不仅适用于理想流体（无粘性流体），也适用于实际流体，后者考

虑了流体的粘性效应。在空气动力学中，动量方程帮助我们分析飞机、汽车等

物体在空气中的运动，以及如何设计这些物体以减少阻力或增加升力。

1.1.2动量方程的数学表达

动量方程可以用数学语言精确地表达出来。在三维空间中，对于不可压缩

流体，动量方程可以写为：

∂

2

⋅

+∇=−∇+

∂

其中：-是流体的密度。-是流体的速度向量。-是流体的压力。-是

流体的动力粘度。-是作用在流体上的外力向量。

数学表达详解

∂

⋅

左侧：+∇描述了流体动量随时间的变化率以及由于流

∂

体速度变化引起的动量变化。这个项被称为惯性项。

2

右侧：−∇述了压力梯度对流体动量的影响，述了粘

性力对流体动量的影响，而则代表了其他外力，如重力。

1

示例：一维不可压缩流体动量方程

考虑一维不可压缩流体的情况，动量方程简化为：

2

∂∂∂∂

+=−+

∂∂∂∂

其中：-是流体在方向的速度。-是流体的压力。-是空间坐标。

1.1.3示例代码：一维动量方程的数值解

下面是一个使用Python和NumPy库来求解一维不可压缩流体动量方程的

简单示例。我们将使用有限差分法来离散化方程。

importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#参数设置

rho=1.225#空气密度，单位：kg/m^3

mu=1.7894e-5#空气动力粘度，单位：Pa*s

L=1.0#域长度，单位：m

N=100#空间网格点数

dx=L/(N-1)#空间步长

dt=0.001#时间步长

t_end=0.1#模拟结束时间

u0=np.zeros(N)#初始速度分布

u0[40:60]=1.0#在中间区域设置初始速度为1m/s