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空气动力学方程：动量方程在飞机设计中的应用

1空气动力学基础

1.1流体动力学概述

流体动力学是研究流体（液体和气体）在运动状态下的行为及其与固体边

界相互作用的学科。在飞机设计中，流体动力学尤为重要，因为它涉及到飞机

在空气中飞行时所受的力和力矩，包括升力、阻力、侧力等。流体动力学的核

心是理解流体的流动特性，如速度、压力和密度的变化，以及这些变化如何影

响飞机的性能。

1.1.1关键概念

流体的连续性：流体在流动过程中，其质量是守恒的，即流体在

任何截面上的质量流量是恒定的。

流体的动量守恒：流体在流动过程中，其动量也是守恒的，除非

受到外力的作用。

流体的可压缩性：在高速飞行中，空气的可压缩性对飞机的空气

动力学性能有显著影响。

1.2动量守恒定律

动量守恒定律是物理学中的基本定律之一，它指出在一个系统中，如果没

有外力作用，系统的总动量保持不变。在流体动力学中，动量守恒定律被用来

描述流体在管道、翼型和机身周围的流动。动量方程是动量守恒定律在流体动

力学中的具体应用，它描述了流体速度的变化与作用在流体上的力之间的关系。

1.2.1动量方程

动量方程可以表示为：

∂

⋅

+∇=−∇+∇⋅+

∂

其中：-是流体的密度。-是流体的速度矢量。-是流体的压力。-是

应力张量，描述流体内部的剪切力。-是作用在流体上的外力。

1.2.2示例：计算飞机翼型上的动量变化

假设我们有一个简单的二维翼型，流体以恒定速度流过翼型。我们可以使

用动量方程来计算翼型上流体的动量变化，从而理解升力和阻力的产生。

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importnumpyasnp

defmomentum_change(rho,v,delta_t,delta_x,delta_y,p,tau,f):

计算流体在翼型上的动量变化。

参数:

rho:流体密度

v:流体速度矢量

delta_t:时间步长

delta_x:x方向的空间步长

delta_y:y方向的空间步长

p:压力

tau:应力张量

f:外力矢量

返回:

动量变化

#计算动量方程的每一项

dv_dt=(v[1:]-v[:-1])/delta_t

v_grad_v=np.gradient(v*v,delta_x,delta_y)

grad_p=np.gradient(p,delta_x,delta_y)

div_tau=np.gradient(tau,delta_x,delta_y)

#计算总动量变化

momentum_change=rho*(dv_dt+v_grad_v)+grad_p-div_tau+f

returnmomentum_change

#示例数据

rho=1.225#空气密度，单位：kg/m^3

v=np.array([100,0])#流体速度矢量，单位：m/s

delta_t=0.01#时间步长，单位：s

delta_x=0.1#x方向的空间步长，单位：m

delta_y=0.1#y方向的空间步长，单位：m

p=np.array([101325,101325])#压力，单位：Pa

tau=np.array([[0,0],[0,0]])#应力张量，单位：Pa

f=np.array([0,-9.81])#外力矢量，单位：m/s^2

#计算动量变化

result=momentum