2019届高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.7 解三角形应用举例课件 理 北师大版.ppt

典例 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B处救援，则cos θ的值为 . 题型二　求角度问题 师生共研 答案 解析 解析　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°， 由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800， 由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°) 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义； (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用. 思维升华 解析　由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°， 又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°， ∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°的方向上. 跟踪训练　如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东60°的方向上，则灯塔A在灯塔B的 的方向上. 答案 解析 北偏西10° 典例 (2018·石家庄模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2a－c)cos B－bcos C＝0. (1)求角B的大小； 解答 题型三　三角形与三角函数的综合问题 师生共研 解　因为(2a－c)cos B－bcos C＝0， 所以2acos B－ccos B－bcos C＝0， 由正弦定理得2sin Acos B－sin Ccos B－cos Csin B＝0， 即2sin Acos B－sin(C＋B)＝0， 又C＋B＝π－A，所以sin(C＋B)＝sin A. 所以sin A(2cos B－1)＝0. 在△ABC中，sin A≠0， (2)设函数f(x)＝2sin xcos xcos B－ cos 2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值. 解答 三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题. 思维升华 跟踪训练 设f(x)＝sin xcos x－cos2 (1)求f(x)的单调区间； 解答 (2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 ＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值. 解答 典例 (12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由. 函数思想在解三角形中的应用 思想方法 思想方法指导 规范解答 思想方法指导 已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决. 规范解答 解　设相遇时小艇航行的距离为S海里，则 [1分] (2)设小艇与轮船在B处相遇. 则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)， [8分] 此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20. [11分] 故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时. [12分] 课时作业 1.(2018·武汉调研)已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　如图所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC＝10 . 解析 答案 √ 2.(2018·襄阳模拟)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东80° D