5.3.1函数的单调性与导数（第二课时）课件-2025年高二年级下册学期数学人教A版（2025）选择性必修第二册(共17张PPT)(含音频+视频).pptx

5.3导数的运算5.3.1函数的单调性（第二课时）?

学习目标新课程标准解读核心素养1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.数学抽象、直观想象2.能利用导数研究函数的单调性.逻辑推理、数学运算3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.数学运算

温故知新一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系：在某个区间(a,b)上，如果f′(x)0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增；在某个区间(a,b)上，如果f′(x)0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.注意

探究新知判断函数的单调性观察函数的图象函数单调性的定义利用导数的正负问题1：如何探究函数的单调性？问题2：如何利用导数研究形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数的单调性？原函数定义域导函数求导运算导函数的正负原函数的单调性解不等式函数单调性与导数的关系

例题精讲??++-单调递增单调递增单调递减所以，f(x)在(-∞,-1)和(2,+∞)上单调递增，在(-1,2)上单调递减，如图所示.思考：如果不用导数的方法，直接用单调性的定义，如何求解，麻烦吗？

方法总结利用导数研究函数y=f(x)的单调性的优势：不熟悉的、复杂的函数熟悉的、简单的函数转化利用导数研究函数y=f(x)的单调性的一般步骤：第1步，确定函数f(x)的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.

探究新知?幂函数y=x3导数为y‘=3x20(x∈(0,+∞)),所以y=x在区间(0,+∞)上单调递增，当x越来越大时,y=3x2越来越大,函数y=x3递增得越来越快,图象上升得越来越“陡峭”(如图(2)).探究：研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0,+∞)上增长快慢的情况.

结论生成函数增减的快慢与导数的关系：一般地，设函数y=f(x)，在区间(a,b)上：如果导数的绝对值越小，函数在区间(a,b)上变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”；反之，如果导数的绝对值越大，函数在区间(a,b)上变化得较快，函数的图象就比较“陡峭”.

例题精讲??

反馈练习

反馈练习

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反馈练习4.判断下列函数的单调性，并求出单调区间：(1)f(x)=3x-x3;(2)f(x)=x3-x2-x.单调递减单调递增单调递减所以，在和上单调递减，在上单调递增，如图所示.解：（1）函数的定义域为.对求导数，得令，解得，或

反馈练习解：（2）函数的定义域为.单调递增单调递减单调递增所以，在和上单调递增，在上单调递减，如图所示.对求导数，得令，解得，或.

反馈练习5.证明函数f(x)=2x3-6x2+7在区间(0,2)上单调递减.证明：函数的定义域为.当时，，因此函数区间上单调递减.对求导数，得

小结反思利用导数讨论函数单调的步骤:(1):求函数定义域(3)令＝0解方程，得方程的根。(4)列表：方程＝0的根将函数的定义域分成若干个区间，利用表格判断各区间的正负。(5)大于0的区间是f(x)的单调递增区间;小于0的区间是f(x)的单调递减区间.(2):求导数