5.3.2 函数的极值与最大（小）值--2025年高二年级下册学期（人教A版(2025)选择性必修第二册课件）(共20张PPT)(含音频+视频).ppt

5.3.2函数的极值与最大（小）值

探究:xyoxyoa0000b极小值点极大值点

xyoaby=f(x)f(a)f(b)x－0+极小值f(a)x+0－极大值f(b)极小值点a极大值点b（导数）左负右正：极小值（导数）左正右负：极大值

(2)如果f/(b)=0,并且在x=b附近的左侧f/(x)0右侧f/(x)0,那么f(b)是极大值1.函数的极值(1)如果f/(a)=0,并且在x=a附近的左侧f/(x)0，右侧f/(x)0,那么f(a)是极小值（导数）左正右负：极大值xyoaby=f(x)f(a)f(b)（导数）左负右正：极小值口诀：极大值与极小值统称为极值.*注：如果某一点x=a两侧的函数单调性相反，则这一点x=a是极值点,且这一点的导数f/(a)=0

令f′(x)=（x+2)(x－2)=0，解得x1=－2，x2=2∴当x=－2时，f(x)有极大值↗↘↗+－+020(2,+∞)(－2,2)－2(－∞,－2)x当x=2时，f(x)有极小值左正右负：极大值左负右正：极小值

练习1:函数f(x)=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值，求a、b的值解：因为函数在x=1和x=2处有极值，所以在x=1和x=2处导数为0*注：如果某一点x=a两侧的函数单调性相反，则这一点x=a是极值点,且这一点的导数f/(a)=0

2.函数y＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为()A.1，－3 B.1，3C.－1，3 D.－1，－3练习：*注：如果某一点x=a两侧的函数单调性相反，则这一点x=a是极值点，且这一点的导数f/(a)=0A

3.已知函数y＝x3－3x＋2，则()A.y无极小值，也无极大值B.y有极小值0，但无极大值C.y有极小值0，极大值4D.y有极大值4，但无极小值C(2)如果f/(b)=0,并且在x=b附近的左侧f/(x)0右侧f/(x)0,那么f(b)是极大值函数的极值与导数的关系：(1)如果f/(a)=0,并且在x=a附近的左侧f/(x)0，右侧f/(x)0,那么f(a)是极小值（导数）左正右负：极大值（导数）左负右正：极小值口诀：练习：

思考导数为0的点一定是函数的极值点吗？oxy++例如：不是

(1)极值点是自变量(x)的值，极值指的是函数值(y)；(2)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;关于极值概念的几点说明：(3)函数的极值点一定在定义域区间的内部，区间的端点不是极值点。（4）极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（5）若函数在区间内只有一个极值，那么该极值同时也是最值。即此时的极大（小）值也是最大（小）值。

练习：(2)如果f/(b)=0,并且在x=b附近的左侧f/(x)0右侧f/(x)0,那么f(b)是极大值函数的极值与导数的关系：(1)如果f/(a)=0,并且在x=a附近的左侧f/(x)0，右侧f/(x)0,那么f(a)是极小值（导数）左正右负：极大值（导数）左负右正：极小值;口诀：

2.函数的最大（小）值

函数在闭区间[a，b]上的最值：1.如果函数在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,那么函数必有最大值和最小值2.最大值一定比最小值大.3.函数的最值通常在极值点或区间端点处取得4.只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值。

一般地，利用导数求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：(2)将y=f(x)的各极值与端点处函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.(1)求f(x)在区间(a，b)内的极值(极大值或极小值)

A学以致用：注：只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值。A

3.函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)()A.有最大值，但无最小值B.有最大值，也有最小值C.无最大值，但有最小值D.既无最大值，也无最小值D学以致用：

4.已知函数f(x)＝x(x－a)(x－b)的导函数为f′(x)且f′(0)＝4，则a2＋2b2的最小值为______5.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)的值为()6.已知函数f(x)＝lnx＋tanα的导