5.3.1 函数的单调性（第一课时） 课件（共27张ppt）-2025年高二年级下册学期数学人教A版（2025）选择性必修第二册(含音频+视频).pptx

5.3.1函数的单调性（第一课时）?

运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？探究1图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h′(t)=-9.8t+4.8的图象.a=,b是函数h(t)的零点.

观察图象可以发现：(1)从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增.相应地，v(t)=h′(t)0.(2)从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减.相应地，v(t)=h′(t)0.

在区间(a,b)上，h′(t)0在区间(a,b)上，h′(t)0在区间(a,b)上，h(t)单调递增在区间(a,b)上，h(t)单调递减猜想

xyOy＝x(1)xyOy＝x2(2)xyOy＝x3(3)xyO(4)探究：观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系。

xyOf(x)＝x(1)xyOf′(x)＝1在(-∞,+∞)上，f(x)单调递增在(-∞,+∞)上，f′(x)0在(-∞,0)上，f(x)单调递减在(-∞,0)上，f′(x)0xyOf(x)＝x2(2)xyOf′(x)＝2x在(0,+∞)上，f(x)单调递增在(0,+∞)上，f′(x)0

在(-∞,0)上，f(x)单调递增在(-∞,0)上，f′(x)0xyOf′(x)＝3x2在(0,+∞)上，f(x)单调递增在(0,+∞)上，f′(x)0xyOf(x)＝x3(3)

在(-∞,0)上，f(x)单调递减在(-∞,0)上，f′(x)0在(0,+∞)上，f(x)单调递减在(0,+∞)上，f′(x)0xyO(4)xyO

问题：能否由f′(x)的正负来判断函数f(x)的单调性呢？f?(x1)0f(x)在x1附近下降切线“左上右下”在区间上，f′(x)0在区间上，f(x)单调递减

aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf(x)0f(x)01、定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内有导数,在某个区间(a,b)上，如果f(x)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增;在某个区间(a,b)上，如果f(x)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减;反之如何？

?

?解：(1)因为f(x)=x3+3x,所以f(x)=3x2+3=3(x2+1)0.所以，函数f(x)=x3+3x在R上单调递增，如图所示.(2)因为f(x)=sinx-x,x∈(0,π),所以f(x)=cosx-10.所以，函数f(x)=sinx-x在(0,π)上单调递减，如图所示.

练习1.判断下列函数的单调性：(1)f(x)=x2-2x+4;(2)f(x)=ex-x.解:(1)函数f(x)=x2-2x+4在(-∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增.(2)函数f(x)=ex-x在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增.

C

小结反思

C

B