2025年高二年级下册学期数学湘教版（2025）选择性必修第二册1.3.1函数的单调性与导数（1）课件（共23张ppt）(含音频+视频).pptx

典例学习

课堂练习

1.3.1函数的单调性与导数（一）选择性必修第二册（湘教版）第1章11.3导数在研究函数中的应用

情境导入回忆：1.高一函数的单调性是怎样定义的？

对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，若当时，都有,则称函数在区间D上是增函数.对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，若当时，都有,则称函数在区间D上是减函数.

情境导入回忆：2.怎样用定义判断函数的单调性？（1）取值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论

二、新课讲授下图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝－9.8t＋6.5的图象.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？①运动员从起跳到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是增函数.相应地，v(t)＝h(t)0.②从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即h(t)是减函数.相应地，v(t)＝h(t)0.thabO(1)tvabO(2)v(t)＝h(t)=0

观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与其导函数正负的关系。yxy=xO（1）（2）yxOy=x2xyOy=x3（3）

单调性导数的正负函数及图象函数单调性与导数的关系？xyoyoxyox在上递增在上递减

再观察下面一些函数的单调性与其导函数正负的关系。

aby=f(x)xoyy=f(x)xoyab三、建构数学:由上我们可得以下的结论:一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a,b)内，如果f(x)0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减；特别地，如果在某个区间内恒有f(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间内是常数函数.

四、应用探究

应用探究【例2】判断函数f(x)＝3x－x3的单调性，并求出单调区间.解：f(x)＝3－3x2＝－3(x2－1)＝－3(x－1)(x＋1)，当f(x)＞0，即－1＜x＜1时，函数f(x)＝3x－x3单调递增；当f(x)＜0，即x＞1或x＜－1时，函数f(x)＝3x－x3单调递减；所以函数f(x)＝3x－x3的单调增区间为[－1,1]，单调减区间为(－∞,－1)，(1,＋∞)注意：1.多个单调区间之间不能用∪，只能用“和”或者逗号.2.单调区间能不能取到端点值，观察定义域。如果包含，写在单调区间一边就可以.说明：求函数y＝f(x)的单调区间的步骤：（1）确定函数y＝f(x)的定义域.（2）求导数y′＝f′(x).（3）解不等式f′(x)0，函数在解集所表示的定义域内为增函数.（4）解不等式f′(x)0，函数在解集所表示的定义域内为减函数.

例3、已知函数，试讨论出此函数的单调区间并作出图像.

注:如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间一般不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”分开。

证明:∵f(x)=2x3-6x2+7，∴f(x)=6x2-12x=6x(x-2)由f(x)0，解得0x2，所以函数f(x)的递减区间是(0,2)，即函数f(x)在(0,2)内是减函数.注:证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：(1)求f(x)(2)确认f(x)在(a,b)内的符号(3)作出结论1、证明函数f(x)=2x3-6x2+7在(0,2)内是减函数四、课堂练习因为0x2，所以x-20,所以f(x)0，所以函数f(x)在(0,2)内是减函数.

2、若在区间(a,b)内有f(x)0，且f(a)≥0，则在(a,b)内有()A.f(x)0B.f(x)0C.f(x)=0