线性代数第二版第一章习题课.ppt

枯 第一题解答 习 题 课 1. 用定义计算行列式 1） （2） 2. 计算四阶行列式 单击这里开始解答 3. 计算四阶行列式 单击这里开始解答 4. 计算六阶行列式 单击这里开始解答 5. 计算四阶行列式 单击这里开始解答 ６. 证明：当 ? ? m? 时 ＝sin(n+1) ? / sin ? ７. 计算 n 阶行列式 8. 用克来姆法则解方程组 单击这里开始解答 单击这里开始解答 要计算 Dn ，只需求出所有的非零项. 根据行列式的定义，行列式展开后，每项都是 n 项，即 因此， Dn 除去有零的项外，只有一 的行与列， 个元素的乘积，且这 n 个元素要位于 Dn 中不同 解 (-1)t a1,n-1a2,n-2 …an-1,1ann = (-1)t 1×2 × … × (n-1) ×n = (-1)t n! 其中 t 为排列 (n-1) (n-2) …2 1 n 的逆序数，故 t = 0 + 1 + 2 + … + (n - 3) + ( n - 2) + 0 = [(n - 1) (n - 2)]/2. 所以 Dn=(-1)(n-1)(n-2)/2 n! . 设 D5 中第 1，2，3，4，5 行的元素分别 一个 5 元排列也不能组成，故 D5 = 0 . 为 那么，由 D5 中第 1，2，3，4，5 行可能的非零 元素分别得到 p1 = 2, 3 ; p2 = 1, 2, 3, 4, 5 ; p3 = 1, 2, 3, 4, 5 ; p4 = 2, 3 ; p5 = 2, 3 . 因为 p1 , p2 , p3 , p4 , p5 在上述可能取的数码中， 解 　　　　　　对阶数 n 用数学归纳法. 当 n = 1, 2 时，结论显然成立. 假设对阶数小于 n 的行列式成立，下证对于 Dn = 2cos?Dn-1 - Dn-2 行展开，得 现将 Dn 按第１ 阶数等于 n 的行列式结论也成立. 证明 由归纳假设， 得 证毕 将第２, 3 , … , n列都加到第１列， 并从第１列中提取公因子 y + ( n - 2 ) b , 得 解法一　化为三角行列式法 将第１行的（－１）倍分别加到第 2, 3, … , n 行， 得 解法二 递推法 将第１ 行 y - b 写成 (y - 2b)+b , b 写成 b+0 , 依第１行将 Ｄn 拆成两个行列式之和，于是有 等式右端第一个行列式按第１行展开，第二 ＝ (y - 2b)Dn-1 + b(y - 2b)n-1 . 个行列式第１行的 （－１）倍分别加到第2, 3, …, n 行， 然后按第１列展开，得 由此递推，得 Dn-1 = (y - 2b)Dn-2 +b(y - 2b)n-2 , Dn-2 = (y - 2b)Dn-3 +b(y - 2b)n-3 , ………………… D2 = (y - 2b) D1 + b(y - 2b) , D1 = y - b , 由此得 Ｄn = (y - 2b)2Dn-2 + 2b(y - 2b)n-1 = … = (y - 2b)D1 + (n - 1)b(y - 2b)n-1 = [y + (n-2)b](y - 2b)n-1 . 　　　　设所求三次多项式为 f(x) = ax3 + bx2 + cx + d , 由题意得 解 这是一个关于四个未知数 a, b, c, d 的线性方程组, 下面用克来姆法则求解. 单击这里开始求解 所以 则所求多项式为 设甲、乙、丙三种化肥各需 x1、x2、x3 下面用克来姆法则求解该方程组. 单击这里开始求解 千克，依题意得方程组 解 此方程组的系数行列式 D＝ - 27/5 ,又 D1 = - 81/5 , D2 = - 27 , D3 = - 81 , 由克莱姆法则，此方程组有唯一解