线性代数 卢刚版(高教第二版）课后答案第一章习题解答[].doc

习题一（A） 1.，， . 2.由得 . 3.（1），. （2），为1997年和1998年各种油品的产量之和. ，为1998年和1997年各种油品的产量之差. （3），为1997年和1998年各种油品的平均产量. 4.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）14；（6）；（7）15. 5.（1），， ，， ，， ，. 由构成的图形如下： （2）当时，.仿（1）得由构成的图形如下： （由正方形逆时针旋转弧度得到） 当时，.仿（1）得由构成的图形如下： （由正方形顺时针旋转弧度得到） 6. ，. （1） 北美 欧洲 非洲 价值 重量 体积 （2）. 总价值 总重量 总体积 7.（1）正确.. （2）正确.. （3）未必正确.. 8.（1）设与可交换的矩阵为，则由得.即. 于是，.解之得.故与可交换的所有矩阵为，其中为任意常数. （2）设与可交换的矩阵为，则由得. 即 . 于是 故与可交换的所有矩阵为，其中为任意常数. 注：待定系数法是解决此类问题的有效方法之一. 9.证 （1），与可交换. （2），与可交换. （3）. 10.（1）. （2）令，则，. 猜测有如下结论： . 下面用数学归纳法证明：当时，结论显然成立；假设当时结论成立，则当时，，结论成立. 综上知，. 注：先根据的前若干项猜测其形式，再用数学归纳法加以证明是求矩阵的幂的常用方法之一. （3） 注：务必牢记这个重要的结果！ （4）（直接计算即可）令，则，，. （5）（直接计算即可） （6）令，则由直接计算知，，，. 猜测有如下结论： 下面可利用数学归纳法加以证明，此处从略. 11.的第行第列的元素为 . 的第行第列的元素为 . 的第行第列的元素为 . 12.（1）. （2）. 注：在矩阵论上称为矩阵多项式.矩阵与其矩阵多项式之间关系密切，将在后续章节陆续介绍. 13.（1），. （2），. 注：邻接矩阵（adjacent matrix）的概念在运筹学（Operations Research）的一个重要分支－代数图论（Algebraic Graph Theory）上有着重要的应用. 15.（1）. （2）. （3）. （4）. 注：矩阵的“迹”（trace）的概念，特别是矩阵的行列式，迹和特征值的关系：，（见第四章）是历年考研的热门考点. 16.（1）（直接计算）1. （2）（按任一行或列展开）12. （3）. （4）. （5）利用P22例6的结论.原. （7）利用P24例8 Van der monde行列式的结论. 原. 注：务必牢记Van der monde行列式的重要结论！ （8）原. 问：如此行列式扩展到阶，结果又如何呢？ 17.（1）左. 解得或. （2）直接按第一行展开.左.解得或. 注：解行列式方程的问题可先计算相应的行列式，再解方程. . . 注：牢记结论：！ (4)原. 问：如此行列式扩展到阶，结果又如何呢？ . 问：如此行列式扩展到阶，结果又如何呢？ 注：牢记结论：. （2）仿（1）的做法. （2） 当时，原；当时，原；当时，原. （4）利用P22例6的结论.原. 注：教材提供的参考答案与此稍有 “不同”，这是因为. 解得原方程的解为. 解得原方程的解为. 注：原行列式是阶的! 23.（1）利用教材P22例5的结论. 注：原行列式是阶的! 注：教材P22例5的做法是常用且有效的计算行列式的方法. ， ， . （2），， . 25.（1）. 26.，. 27.（1）令，则，故可逆. . （2）令，则，故不可逆. （3）令，则，故可逆. . （4）令，则，故可逆. . 注：伴随矩阵法仅在笔算求低阶矩阵的逆矩阵时较为方便. 28. （1）， . （2）， . （3）， . （4）， . 注：也可以利用矩阵的初等列变换求矩阵的逆矩阵：. 29.（1）. . （3）. 注：30和31两题的做法表明：设法得到等式是证明矩阵可逆或求的有效途径. 32.（1）在两边同时取行列式得.可逆，，，故可逆，且. （2）. 注：矩阵的伴随矩阵的有关性质是往年考研的热门考点.读者应格外注意如下重要的恒等式：，从它可导出的许多性质. 34.，是对称矩阵. 35.方法一：. 方法二：（数学归纳法）当时，显然成立. 设命题对时成立，则. 36.（1），，. （2），，， . （3），，. 注：务必牢记这三种分块矩阵的逆矩阵的形式，特别是（1）和（3）两个结果. 37.（1）方法一：，且存在一阶非零子式，秩为1. 方法二：，秩为1. （2），秩为3. （3），秩为1. （4），秩为2. （5），秩为3. （6），秩为3. 注：求矩阵的秩的方法很多，随着以后各章的学习，读者应注意总结. 第一章《线性代数》习题解答 20 第 20 页 共 20 页